Дилемма заключённого матописание

lab2/report/report.tex

@@ -171,7 +171,7 @@
 
     
     \subsection{Папоротник Барнсли}
-    Папоротник Барнсли — фрактал, названый в честь британского математика Майкла Барнсли, впервые описан в его книге <<Fractals Everywhere>>~\cite{barnsley}. Для его построения используется четыре простых трансформации, которые применяются случайным образом с определёнными вероятностями. Каждое преобразование масштабирует, поворачивает и смещает точки, начиная с одного начального положения. На каждом шаге, в зависимости от случайно выбранной трансформации, новая точка генерируется на основе предыдущей, и этот процесс повторяется многократно. Результатом становится изображение, напоминающее настоящие папоротники, с характерным ветвящимся и самоподобным узором.
+    Папоротник Барнсли — фрактал, названый в честь британского математика Майкла Барнсли, впервые описан в его книге <<Fractals Everywhere>>~\cite{barnsley}. Для его построения используется четыре простых трансформации, которые применяются случайным образом с определёнными вероятностями. Каждое преобразование масштабирует, поворачивает и смещает точки, начиная с одного начального положения. На каждом шаге, в зависимости от случайно выбранной трансформации, новая точка генерируется на основе предыдущей, и этот процесс повторяется многократно. Результатом становится изображение, напоминающее настоящие папоротники.
 
 \[
     \begin{aligned}
@@ -211,6 +211,80 @@
     \end{figure}
 
 
+    \subsection{Дилемма заключённого}
+    Дилемма заключённого — фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой рациональные игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Предполагается, что игрок (<<заключённый>>) максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других. В классическом варианте дилеммы заключённого два игрока могут выбрать одно из двух действий:
+    
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Сотрудничество}: Игрок решает сотрудничать с другим игроком, не сдавая его властям.
+        \item \textbf{Предательство}: Игрок решает предать другого, сдавая его властям, с целью получения личной выгоды.
+    \end{itemize}
+    
+    В зависимости от действий обоих игроков возможны следующие исходы:
+    \begin{itemize}
+        \item Если оба игрока сотрудничают, они оба получают умеренное наказание.
+        \item Если один игрок сотрудничает, а другой предаёт, то предатель получает свободу, а сотрудничающий — максимальное наказание.
+        \item Если оба игрока предают друг друга, оба получают умеренные наказания, однако хуже, чем при сотрудничестве.
+    \end{itemize}
+
+    В таблице \ref{tbl:exodus} представлены варианты исходов дилеммы заключённого, которые рассматривались в этом варианте лабораторной работы.
+
+    \begin{table}[h!]
+        \centering
+        \caption{Исходы дилеммы заключённого}
+        \label{tbl:exodus}
+        \footnotesize
+        \begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|X|}
+        \hline
+        \textbf{Действие игрока 1} & \textbf{Действие игрока 2} & \textbf{Наказание игрока 1 / Наказание игрока 2} \\
+        \hline
+        Сотрудничество & Сотрудничество & 1 год / 1 год \\
+        \hline
+        Сотрудничество & Предательство & 10 лет / 0 лет \\
+        \hline
+        Предательство & Сотрудничество & 0 лет / 10 лет \\
+        \hline
+        Предательство & Предательство & 5 лет / 5 лет \\
+        \hline
+        \end{tabularx}
+    \end{table}
+    
+    В повторяющейся дилемме заключённого игра происходит периодически, и каждый игрок может «наказать» другого за несотрудничество ранее.
+
+    \subsection{Равновесие Нэша}
+    Равновесие Нэша — одно из ключевых понятий теории игр. Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют.
+
+    Определить стратегию, при которой наступает равновесие можно с помощью формулы:
+
+    \[
+    u_i(s_i^*, s_{-i}) \geq u_i(s_i, s_{-i}) \quad \text{для всех} \ s_i,
+    \]
+    
+    где:
+    \begin{itemize}
+        \item $u_i(s_i^*, s_{-i})$ — выигрыш игрока $i$, если он выбирает стратегию $s_i^*$, а остальные игроки выбирают стратегии $s_{-i}$;
+        \item $s_{-i}$ — набор стратегий всех игроков, кроме игрока $i$;
+        \item $s_i$ — стратегия игрока $i$.
+    \end{itemize}
+    
+    В случае с дилеммой заключённого равновесие Нэша достигается, когда оба игрока выбирают стратегию предательства (П). Если игрок 1 выбирает сотрудничество (С), то игрок 2, выбирая предательство (П), получает 0 лет (лучший результат для него), а игрок 1 — 10 лет. Если игрок 1 выбирает предательство (П), то игрок 2, также выбирая предательство (П), получает 5 лет, а игрок 1 — 5 лет.
+
+    \subsection{Прощающая стратегия}
+    Прощающая стратегия заключается в том, что игрок не предает, пока это не сделает оппонент, далее мстит один ход и снова возвращается к сотрудничеству, если оппонент не продолжает предавать.
+
+    \[
+    s_i(t) = 
+    \begin{cases}
+    \text{С}, & \text{если } s_j(t-1) = \text{С}, \\
+    \text{П}, & \text{если } s_j(t-1) = \text{П}.
+    \end{cases}
+    \]
+    где:
+    \vspace{-10pt}
+    \begin{itemize}
+        \item \( s_i(t) \) — стратегия игрока \( i \) на шаге \( t \),
+        \item \( s_j(t-1) \) — стратегия оппонента на шаге \( t-1 \).
+    \end{itemize}
+
     \newpage
     \section {Особенности реализации}