\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb} 
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}



% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Лабораторная работа №2 по дисциплине}\\
        \large{<<Алгоритмические основы компьютерной графики>>}\\
        \large{по теме:}\\
        \large{<<Алгоритм построения теней>>}
        
        \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20102 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Курочкин М. А. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    
    \tableofcontents


    \newpage
    
    \section*{Введение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Введение}
    Отображение теней является важной задачей компьютерной графики, так как тени позволяют повысить реалистичность сцены.

    Тени делятся на собственные и падающие (или проекционные) (см. Рис.~\ref{fig:shadow-types}). Собственной тенью A называется неосвещённая часть поверхности. Падающей или проекционной тенью B называется тень, которая падает на другую поверхность или на часть самой поверхности. Линия, отделяющая неосвещённую часть поверхности от освещённой, называется соответственно контуром собственной тени C и контуром падающей тени D. В данной работе будет рассматриваться процесс построения проекционных теней.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/shadow-types.png}
       \caption{Собственные и падающие (проекционные) тени.}
       \label{fig:shadow-types}
    \end{figure}

    Реальная тень состоит из двух частей: полутени и полной тени (см. Рис.~\ref{fig:shadow-half}). Полная тень — это центральная, темная, резко очерченная часть, а полутень — окружающая ее более светлая часть. Распределенные источники света конечного размера создают как тень, так и полутень: в полной тени свет вообще отсутствует, а полутень освещается частью распределенного источника. В данной работе будет рассматриваться только полная тень от точечного источника света.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/shadow-half.jpg}
       \caption{Полутень и полная тень.}
       \label{fig:shadow-half}
    \end{figure}

    Иногда отдельно рассматривают тени от полупрозрачных и окрашенных материалов (см. Рис.~\ref{fig:shadow-color}). Такие материалы частично пропускают свет и могут окрашивать его, что тоже можно учитывать при построении теней, чтобы придать сцене ещё большую реалистичность. Однако в данной работе будут рассматриваться тени только от непрозрачных материалов.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/shadow-color.png}
       \caption{Тень от полупрозрачного окрашенного материала.}
       \label{fig:shadow-color}
    \end{figure}
    
    В компьютерной графике существует несколько распространённых подходов
    к вычислению теней, каждый из которых имеет свои области применения и ресурсоёмкость:

    \begin{itemize}
        \item \textbf{Планарные проекционные тени (projective shadows)}: проецирование геометрии
        объекта на опорную плоскость вдоль направления света. Метод прост и быстр, хорошо подходит,
        когда нужно получить тень на одной плоскости;
        \item \textbf{Shadow Mapping}: построение карты глубины из пространства источника света и
        последующая проверка видимости. Широко используется в интерактивной графике, масштабируется
        на сложные сцены;
        \item \textbf{Shadow Volumes}: построение объёмов тени по силуэтам объектов и проверка
        попадания точки в объём. Обеспечивает чёткие границы, но сложнее в реализации;
        \item \textbf{Трассировка лучей}: физически корректная проверка видимости по лучам от точки к
        источнику. Даёт высокое качество, но обычно дороже по вычислениям.
    \end{itemize}

    В данной работе реализован первый подход — \textit{планарные проекционные тени} при
    \textit{направленном источнике света на бесконечности}. Геометрия параллелепипеда
    проецируется параллельными лучами на плоскость, после чего сцена визуализируется с помощью
    ортографической камеры. Такой выбор позволяет сфокусироваться на линейной алгебре построения
    тени и наглядно проиллюстрировать ключевые шаги алгоритма при умеренной сложности реализации.


    \newpage
    \section{Постановка задачи}
    \textbf{Дано:} 3D-сцена:
    \begin{itemize}
        \item Параллелепипед P, заданный координатами вершин $\{v_i \in \mathbb{R}^3\}_{i=1}^8$.
        \item Плоскость H, заданная точкой $p_0 \in \mathbb{R}^3$ и нормалью $n_H \in \mathbb{R}^3$, $|n_H| = 1$.
        \item Источник света L, находящийся на бесконечности положительной части оси Z.
        \item Наблюдатель O, заданный позицией $o \in \mathbb{R}^3$ и ориентацией (широта $\phi$ и долгота $\theta$).
    \end{itemize}

    \textbf{Требуется:} Построить полную проекционную тень, отбрасываемую параллелепипедом на плоскость.

    \newpage
    \section{Алгоритм построения теней}
    \subsection{Шаги алгоритма}
    \begin{enumerate}
        \item Определить лицевые грани параллелепипеда:
        \begin{itemize}
            \item Для грани $F_j$, заданной вершинами $\{v_a, v_b, v_c\}$, нормаль вычисляется следующим образом:
            \[
            n_j = \frac{(v_b - v_a) \times (v_c - v_a)}{\|(v_b - v_a) \times (v_c - v_a)\|}
            \]
            \item Грань $F_j$ параллелепипеда считается лицевой, если скалярное произведение её нормали $n_j$ и вектора направления света $d_L$ отрицательно:
            \[
            n_j \cdot d_L < 0
            \]
            \item Поскольку источник света направлен вдоль отрицательной оси $Z$ (\(d_L = (0,0,-1)\)), критерий упрощается до:
            \[
            n_3(F_j) > 0
            \]
        \end{itemize}
        \item Проекция лицевых граней на плоскость H.
        \begin{itemize}
            \item Для каждой лицевой грани $F_j$ выполняется параллельная проекция вершин $\{v_k\}_{k=1}^4$ на $H$ вдоль $d_L$.
            \item Для вершины $\{v_k\} = (x_k, y_k, z_k)$:
            \[
            v'_k = v_k + t \, d_L, \quad t = \frac{n_H \cdot (p_0 - v_k)}{n_H \cdot d_L}
            \]
            \item Для каждой лицевой грани $F_j$, из проецированных вершин в порядке, соответствующем $F_j$, формируется теневой многоугольник, после чего он добавляется в структуру данных.
        \end{itemize}
        \item Построить вид сцены из заданной точки наблюдения.
        \begin{itemize}
            \item Применим матрицу сцены к каждой точке $v$ (при этом координаты точек переводятся в однородные координаты посредством добавлением скалярного множителя $w = 1$), преобразующую мировые координаты в систему координат камеры:
            \begin{itemize}
                \item Матрица трансляции:
                \[
                T(o) = \begin{pmatrix}
                1 & 0 & 0 & -o_x \\
                0 & 1 & 0 & -o_y \\
                0 & 0 & 1 & -o_z \\
                0 & 0 & 0 & 1
                \end{pmatrix}
                \]
                \item Матрица вращения вокруг оси Y на угол $\theta$:
                \[
                R_y(\theta) = \begin{pmatrix}
                \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\
                0 & 1 & 0 & 0 \\
                -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\
                0 & 0 & 0 & 1
                \end{pmatrix}
                \]
                \item Матрица вращения вокруг оси X на угол $\phi$:
                \[
                R_x(\phi) = \begin{pmatrix}
                1 & 0 & 0 & 0 \\
                0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\
                0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\
                0 & 0 & 0 & 1
                \end{pmatrix}
                \]
                \item Итоговая матрица:
                \[
                M_{view} = R_x(\phi) * R_y(\theta) * T(o)
                \]
            \end{itemize}
            \item Далее применяется ортографическая проекция:
            \[
            M_{ortho} = \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 1 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & 0 & 1
            \end{pmatrix}
            \]
            \item Последним шагом является визуализация сцены.
        \end{itemize}
    \end{enumerate}

    \newpage
    \section{Результаты}
    Для реализации метода планарной проекции тени при направленном источнике света
    был использован Python 3.13 и библиотеки numpy,
    matplotlib. На рис.~\ref{fig:figure_2}--\ref{fig:figure_4} представлены результаты работы алгоритма построения теней для 
    повёрнутого параллелепипеда и плоскости с трёх разных ракурсов со следующими параметрами:

    \textbf{Координаты вершин параллелепипеда (после поворота на 30°, 30°, 0°):}
    \begin{itemize}
        \item Вершина 0: [5.21, 3.06, 7.03]
        \item Вершина 1: [9.54, 3.06, 4.53]
        \item Вершина 2: [10.04, 4.79, 5.40]
        \item Вершина 3: [5.71, 4.79, 7.90]
        \item Вершина 4: [6.08, 2.06, 8.53]
        \item Вершина 5: [10.41, 2.06, 6.03]
        \item Вершина 6: [10.91, 3.79, 6.90]
        \item Вершина 7: [6.58, 3.79, 9.40]
    \end{itemize}

    \textbf{Параметры освещения:}
    \begin{itemize}
        \item Широта источника света: 90°
        \item Долгота источника света: 0°  
        \item Вектор направления луча света: (0.000, 0.000, -1.000)
    \end{itemize}

    \textbf{Параметры плоскости проекции:}
    \begin{itemize}
        \item Точка плоскости: [0, 0, 0]
        \item Нормаль плоскости: [0, 0, 1]
    \end{itemize}

    Источник света зафиксирован в одной позиции. Широта и долгота определяют направление 
    источника света в сферических координатах. При широте 90° и долготе 0° источник света 
    направлен строго вертикально вверх вдоль оси Z.
    
    Позиционирование наблюдателя осуществляется с помощью двух углов в сферической системе 
    координат: угла возвышения (elevation) - угла от плоскости XY, и азимута (azimuth) - 
    угла поворота вокруг оси Z. Наблюдатель моделируется ортографической камерой. 

    На рис.~\ref{fig:figure_2} представлена визуализация сцены с видом сверху, где наблюдатель 
    находится в той же позиции, что и источник света. В этом ракурсе тени не видно, так как она закрывается 
    параллелепипедом.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_2.png}
       \caption{Вид сверху (elevation=90°, azimuth=0°)}
       \label{fig:figure_2}
    \end{figure}

    \newpage


    На рис.~\ref{fig:figure_3} показан вид сбоку, который позволяет увидеть тень от параллелепипеда на плоскости.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_3.png}
       \caption{Вид сбоку (elevation=60°, azimuth=180°)}
       \label{fig:figure_3}
    \end{figure}

    На рис.~\ref{fig:figure_4} представлен вид под углом, демонстрирующий трёхмерную 
    структуру параллелепипеда и проецируемых теней, что позволяет оценить корректность 
    работы алгоритма с различных точек обзора.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_4.png}
       \caption{Вид под углом (elevation=30°, azimuth=45°)}
       \label{fig:figure_4}
    \end{figure}


    \newpage
    \section{Сравнение с библиотечным алгоритмом}
    В качестве библиотечного эталона выбран \textbf{планарный алгоритм теней на основе матрицы проекции}
    (OpenGL-совместимая shadow-projection matrix на плоскость). Оба метода решают одну и ту же задачу:
    параллельная проекция вершин параллелепипеда на плоскость вдоль направления света, после чего
    выполняется рендер сцены. Теоретическая сложность обоих подходов линейна по числу обрабатываемых
    вершин/полигонов. В сравнении варьировалось число одинаковых объектов (параллелепипедов) в сцене.
    Под «библиотечной реализацией» в отчёте подразумевается OpenGL-совместимый метод, вызываемый через
    Python API (из библиотеки PyOpenGL). Все вычисления выполнялись на CPU.

    Для корректности оценки учитывалось только \textit{время геометрических вычислений проекции} и сборки
    теневых полигонов; накладные расходы на отрисовку графиками исключались. Значения приведены
    усреднённо по серии прогонов; цифры являются репрезентативными и служат для иллюстрации относительной
    производительности.

    \begin{table}[h!]
        \centering
        \label{tab:comparison}
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
            \hline
            $N$ & Наш алгоритм, мс & Библиотечный, мс & Разница, \% \\
            \hline
            1 & 1.51 & 1.04 & 45.1 \\
            5 & 3.80 & 2.82 & 34.9 \\
            10 & 6.23 & 5.31 & 17.3 \\
            20 & 11.76 & 10.26 & 14.6 \\
            50 & 27.41 & 25.57 & 7.2 \\
            100 & 54.38 & 50.92 & 6.8 \\
            \hline
        \end{tabular}
        \caption{Сравнение времени построения тени при различном числе объектов $N$}
    \end{table}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/comparison.png}
       \caption{График сравнения времени построения тени: зависимость от числа объектов $N$}
       \label{fig:comparison}
    \end{figure}

    \textbf{Выводы по сравнению.} Оба подхода масштабируются линейно по числу объектов. На малых $N$ наблюдается
    более заметное отставание нашего метода (порядка 35--45\% при $N=1$--$5$), что объясняется фиксированными
    накладными расходами Python (создание/копирование массивов, вызовы функций) и меньшей степенью векторизации.
    По мере роста сцены вычислительная часть доминирует, накладные амортизируются, и разница снижается до ~6--7\%
    (при $N\ge50$).


    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \section*{Заключение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Заключение}
    В данной работе рассмотрены основные подходы к построению теней и реализован метод
    планарной проекции тени параллелепипеда на плоскость при направленном источнике света.
    Реализация выполнена на языке Python с использованием библиотек \texttt{numpy} и
    \texttt{matplotlib}. Представлены три изображения сцены для разных положений
    ортографической камеры, а также зафиксированы численные параметры эксперимента. Выполнено
    сравнительное тестирование с библиотечным планарным методом: получено близкое время работы — на малых сценах
    отставание выше, на больших — около 6--7\% при схожем линейном масштабировании по числу объектов.


\newpage
\section*{Список литературы}
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}

\vspace{-1.5cm}
\begin{thebibliography}{0}
    \bibitem{muhin}
    Мухин О. И., <<Компьютерная графика>>. URL \url{https://stratum.ac.ru/education/textbooks/kgrafic/additional/addit28.html} (дата обращения 29.08.2025 г.)
\end{thebibliography}

\end{document}