\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[left=15mm, top=15mm, right=15mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}



% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Индивидуальное домашнее задание №3}\\
        \large{по дисциплине}\\
        \large{<<Математическая статистика>>}\\
        \large{Вариант 27}\\
        
        % \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20102 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Малов С. В. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    \section {Задание №1}
    
    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1.png}
       \label{fig:task1}
    \end{figure}


    \subsection{Пункт a}
    Вариационный ряд: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 14.
    
    Эмпирическая функция распределения (ЭФР)
    $$
    \hat{F}_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \text{\textbf{1}}_{\{X_i \leq x\}},
    $$
    где $n$ — объем выборки.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.55\linewidth]{img/task1_1.png}
       \label{fig:task1_1}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.55\linewidth]{img/task1_2.png}
       \label{fig:task1_2}
    \end{figure}

    \subsection{Пункт b}

    \textbf{(i) Выборочное среднее (математическое ожидание)}
    Выборочное среднее — оценка теоретического математического ожидания.
    $$
    \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = 1.96
    $$


    \textbf{(ii) Выборочная дисперсия}

    Несмещённая оценка дисперсии:
    $$
    s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 = 7.67
    $$
    
    Смещенная оценка дисперсии:
    $$
    s^2_{\text{смещенная}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 = 7.52
    $$
    
    где:
    \begin{itemize}
        \item $ n $ — общее количество наблюдений,
        \item $X_i$ — каждое отдельное наблюдение,
        \item $\bar{X}$ — среднее значение выборки.
    \end{itemize}


    \textbf{(iii) Медиана}
    
    $$
    \text{Медиана} = 
    \begin{cases} 
        X_{\left(\frac{n}{2}\right)} & \text{если } n \text{ чётно} \\
        \frac{X_{\left(\frac{n-1}{2}\right)} + X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}}{2} & \text{если } n \text{ нечётно}
    \end{cases}
    $$

    Для данных из варианта:
    $$
    \text{Медиана} = 1
    $$

    \textbf{(iv) Ассиметрия}
    $$
    Skewness = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^3}{s^3} = 2.25
    $$

    \textbf{(v) Эксцесс}
    $$
    Kurtosis = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^4}{s^4} - 3 = 5.92
    $$

    \textbf{(vi) Вероятность $P(X \in [0.00, 2.49])$}
    $$
    P(X \in [a, b]) = \frac{\text{число элементов выборки} \in [a, b]}{n}.
    $$

    Для данных из варианта:
    $$
    P(X \in [0.0, 2.49]): 0.74
    $$

    \subsection{Пункт c}
    \textbf{1. Оценка максимального правдоподобия (ОМП)}
    Функция правдоподобия для Пуассона:
    $$
    L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n}\frac{\lambda^{X_i}e^{-\lambda}}{X_i!}.
    $$

    Логарифмируя, получаем:

    $$
    \ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} \left( X_i \ln \lambda - \lambda - \ln X_i! \right).
    $$

    Дифференцируя по $\lambda$, приравнивая к нулю:

    $$
    \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{n} X_i - n = 0 
    \Longrightarrow \hat{\lambda}_{\text{ОМП}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \bar{X}.
    $$

    ОМП для $\lambda$: 1.96

    
    \textbf{Смещение ОМП:}  
    В случае распределения Пуассона оценка максимального правдоподобия (ОМП) параметра $\lambda$ совпадает с выборочным средним:

    $$
    \hat{\lambda}_{\text{ОМП}} = \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i.
    $$

    Найдём математическое ожидание этой оценки:

    $$
    \mathbb{E}[\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}] = \mathbb{E} \left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[x_i].
    $$

    Так как для распределения Пуассона $\mathbb{E}[x_i] = \lambda$, то:

    $$
    \mathbb{E}[\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}] = \frac{1}{n} \cdot n \lambda = \lambda.
    $$

    Отсюда следует:

    $$
    \text{Смещение}(\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}) = \lambda - \lambda = 0.
    $$

    \textbf{2. Оценка по методу моментов (ОММ)}
    Приравниваем теоретическое математическое ожидание к выборочному:
    $$
    E[X]=\lambda \Longrightarrow \hat{\lambda}_{\text{MM}} = \bar{X}. \
    $$

    ОММ для $\lambda$: 1.96


    \textbf{Смещение ОММ:}  
    Метод моментов приводит к той же оценке:

    $$
    \hat{\lambda}_{\text{ММ}} = \bar{x}.
    $$

    Математическое ожидание:

    $$
    \mathbb{E}[\hat{\lambda}_{\text{ММ}}] = \lambda \
    $$

    Смещение этой оценки:

    $$
    \text{Смещение}(\hat{\lambda}_{\text{ММ}}) = \lambda - \lambda = 0.
    $$

    Таким образом, обе оценки ($\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}$ и $\hat{\lambda}_{\text{ММ}}$) являются несмещёнными.


    \subsection{Пункт d}
    Aсимптотический доверительный интервал уровня значимости $\alpha_{1}=0.02$ для параметра $\lambda$ на базе оценки максимального правдоподобия

    \textbf{Шаги построения}

    \begin{enumerate}
        \item Оценка $\hat{\lambda}$
        ОМП параметра $\lambda$ равна выборочному среднему:
        $$ \hat{\lambda} = \bar{x} = 1.96 $$

        \item Стандартная ошибка
        Для распределения Пуассона дисперсия равна $\lambda$:
        $$ SE = \sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}} = 0.198$$

        \item Квантиль нормального распределения
        Для уровня значимости $\alpha_{1} = 0.02$:
        $$ z_{1-\alpha/2} = z_{0.99} $$

        \item Границы интервала
        $$ \hat{\lambda} \pm z_{0.99} \cdot SE $$

        Доверительный интервал (98\%): $\lambda \in (1.499, 2.421)$
    \end{enumerate}


    \subsection{Пункт e}
    Критерий $\chi^2$ для проверки гипотезы согласия с распределением Пуассона ($\lambda_0 = 2.00$)
    Критерий $\chi^2$ проверяет, насколько эмпирические частоты $O_i$ соответствуют теоретическим частотам $E_i$ при заданном распределении.

    \begin{enumerate}
        \item Расчёт наблюдаемых и теоретических частот:  
            $O_i$ - наблюдаемые частоты для каждого интервала,

        $$
        E_i = n \cdot P(X = k\ |\ \lambda = \lambda_0),
        $$
        где $P(X=k)$ — вероятность по распределению Пуассона.

        \item Группировка данных: Объединить значения так, чтобы $E_i \geq 5$.

        \item Статистика $\chi^2$:
        $$
        \chi^2 = \sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}.
        $$

        \item Степени свободы:
        $$
        df = k - 1 - m,
        $$
        где $k$ — число категорий, $m=0$.
    \end{enumerate}

    \textbf{Критическое значение:} Сравнение с $\chi_{\text{крит}}^2(df, \alpha)$. 
     
    \textbf{p-значение:} Вероятность $P(\chi^2 \geq \chi_{\text{набл}}^2)$.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/table1.png}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/table2.png}
    \end{figure}

    \newpage
    \textbf{Интерпретация}
    \begin{itemize}
        \item Наблюдаемые частоты $O_i$ — количество раз, когда значение $k$ встречается в выборке.
        \item Теоретическая вероятность $P(X=k)$ — вероятность по распределению Пуассона с $\lambda=2.0$.
        \item Теоретическая частота $E_i$ — ожидаемое количество значений $k$ при условии, что данные следуют распределению Пуассона ($E_i = n \cdot P(X = k)$).
    \end{itemize}

    После группировки категорий (чтобы $E_i \geq 5$) таблица принимает вид:

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/table3.png}
    \end{figure}

    $\chi^2$ наблюдаемое: 29.022

    Критическое значение ($\alpha=0.02$): 11.668

    p-значение: 0.0000077

    Отвергаем гипотезу на уровне $\alpha=0.02$

    Наибольший уровень значимости, на котором ещё нет оснований отвергнуть гипотезу: 0.0000077

    Это означает, что гипотеза отвергается на любом уровне значимости $\alpha \geq 0.0000077$


    \subsection{Пункт f}
    Критерий $\chi^2$ для проверки сложной гипотезы согласия с распределением Пуассона

    \textbf{Оценка параметра $\lambda$}  
    Если параметр $\lambda$ неизвестен, его оценивают по выборке (например, через выборочное среднее):    

    $$
    \hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i,
    $$

    где $x_i$ — значения выборки, $n$ — объем выборки.

    \textbf{Степени свободы}  
    Число степеней свободы для критерия $\chi^2$:  

    $$
    df = k - 1 - m,
    $$

    где:  
    - \( k \) — количество интервалов,  
    - \( m \) — количество оцененных параметров (в данном случае \( m = 1 \), так как оценивается $\lambda$).

    \textbf{Критическое значение:} Сравнение с $\chi_{\text{крит}}^2(df, \alpha)$.  
    \textbf{p-значение:} Вероятность $P(\chi^2 \geq \chi_{\text{набл}}^2)$.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.8\linewidth]{img/table4.png}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/table5.png}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/table6.png}
    \end{figure}

    Хи-квадрат статистика: 27.3903

    Критическое значение ($\alpha=0.02$): 9.8374

    p-value: 0.000005

    Вывод: Отвергаем нулевую гипотезу


    \subsection{Пункт g} 
    
    Наиболее мощный критерий проверки гипотезы $H_0 : \lambda = \lambda_0 = 2.0$ против $H_1 : \lambda = \lambda_1 = 4.0$

    \textbf{Логарифм отношения правдоподобия}

    Функция правдоподобия для распределения Пуассона:

    $$
    L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!}
    $$

    Логарифм отношения правдоподобия:

    $$
    \ln \left( \frac{L(\lambda_1)}{L(\lambda_0)} \right) = \sum_{i=1}^n \left( X_i \ln \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_0} \right) - (\lambda_1 - \lambda_0) \right).
    $$

    \textbf{Критерий отношения правдоподобия}

    Для проверки $H_0$ против $H_1$ используется сумма наблюдений $T = \sum_{i=1}^n X_i$. Критерий принимает $H_1$, если:

    $$
    T > k,
    $$

    где $k$ определяется как:

    $$
    k = \text{qpois}(1 - \alpha, n\lambda_0).
    $$

    \textbf{Смена гипотез}

    Если поменять местами гипотезы, новая нулевая гипотеза $H_0 : \lambda = \lambda_1$, а альтернатива $H_1 : \lambda = \lambda_0$. В этом случае критерий принимает $H_0$, если:

    $$
    T < k',
    $$

    где $k'$ определяется как:

    $$
    k' = \text{qpois}(\alpha, n\lambda_1).
    $$

    Сумма наблюдений: $T_{obs} = 98$

    Порог для $H_0: \lambda = 2.00$: $k = 121$

    Порог для $H_0: \lambda = 4.00$: $k' = 172$

    Проверка $H_0: \lambda = 2.00$ vs $H_1: \lambda = 4.00$:

    Не отклоняем $H_0: T_{obs} = 98 \leq 121$

    Проверка $H_0: \lambda = 4.00$ vs $H_1: \lambda = 2.00$:

    Отклоняем $H_0: T_{obs} = 98 < 172$

    \newpage
    \section{Задание 2}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2.png}
    \end{figure}

    \subsection{Пункт a}

    \textbf{1. Вариационный ряд}

    Вариационный ряд: 0.0, 0.03, 0.06, 0.06, 0.07, 0.1, 0.11, 0.12, 0.12, 0.15, 0.17, 0.18, 0.24, 0.24, 0.29, 0.31, 0.36, 0.49, 0.49, 0.5, 0.53, 0.57, 0.59, 0.67, 0.85, 1.02, 1.11, 1.17, 1.31, 1.31, 2.37, 2.44, 2.58, 2.77, 2.98, 3.03, 3.13, 3.34, 3.57, 3.96, 4.55, 6.5, 6.72, 6.84, 8.33, 9.25, 11.4, 11.83, 14.94, 15.68    

    \textbf{2. Эмпирическая функция распределения (ЭФР)}
    $$
    \hat{F}_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \text{\textbf{1}}_{\{X_i \leq x\}},
    $$
    где $n$ — объем выборки.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2_1.png}
    \end{figure}

    \newpage
    \textbf{3. Гистограмма частот}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2_2.png}
    \end{figure}

    \newpage
    \subsection{Пункт b}

    \textbf{1. Выборочное среднее (математическое ожидание)}
    Выборочное среднее — оценка теоретического математического ожидания.
    
    $$
    \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = 2.79
    $$
    
    \textbf{2. Выборочная дисперсия}
    Несмещённая оценка дисперсии:
    $$
    s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 = 15.59
    $$

    Смещенная оценка дисперсии:
    $$
    s^2_{\text{смещенная}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 = 15.28
    $$

    где:
    - $ n $ — общее количество наблюдений,
    - $X_i$ — каждое отдельное наблюдение,
    - $\bar{X}$ — среднее значение выборки.

    \textbf{3. Медиана}
    Значение, разделяющее выборку на две равные части.

    $$
    \text{Медиана} = 0.94
    $$

    \textbf{4. Ассиметрия}
    $$
    Skewness = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^3}{s^3} = 1.85
    $$

    \textbf{5. Эксцесс}
    $$
    Kurtosis = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^4}{s^4} - 3 = 2.66
    $$

    \textbf{6. Вероятность $P(X \in [0.00, 4.62])$}
    Эмпирическая оценка вероятности:
    $$
    P(X \in [c, d]) = \frac{\text{число элементов выборки} \in [c, d]}{n}.
    $$

    $$
    P(X \in [0.0, 4.62]): 0.82
    $$

    \subsection{Пункт c}
    \textbf{1. Оценка максимального правдоподобия (ОМП)}


    Функция правдоподобия для показательного распределения:
    $$
    L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}
    $$
    Логарифмируя, получаем:
    $$
    \ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i
    $$
    Дифференцируя по $\lambda$ и приравнивая к нулю:
    $$
    \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0
    $$
    Отсюда получаем ОМП:
    $$
    \hat{\lambda}{\text{ОМП}} = \frac{n}{\sum{i=1}^{n} x_i} = \frac{1}{\bar{X}}
    $$

    ОМП для $\lambda$: 0.3586


    \textbf{2. Оценка по методу моментов (ОММ)}
    Для показательного распределения математическое ожидание равно $E[X] = \frac{1}{\lambda}$. Приравнивая теоретическое математическое ожидание к выборочному:
    $$
    \frac{1}{\lambda} = \bar{X} \Rightarrow \hat{\lambda}{\text{ММ}} = \frac{1}{\bar{X}}
    $$
    ОММ для $\lambda$: 0.3586


    \textbf{3. Смещение оценок}
    Для показательного распределения ОМП и ОММ совпадают. Найдём смещение:
    $$
    \text{Смещение}(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda
    $$
    Для показательного распределения:
    $$
    E[\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}] = E\left[\frac{1}{\bar{X}}\right] \neq \frac{1}{E[\bar{X}]} = \lambda
    $$
    Оценка $\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}$ является смещённой, но асимптотически несмещённой.

    Смещение MLE: 0.0073


    \subsection{Пункт d}

    Для построения асимптотического доверительного интервала используем тот факт, что ОМП асимптотически нормальна с дисперсией:
    $$
    \text{Var}(\hat{\lambda}) = \frac{\lambda^2}{n}
    $$
    Доверительный интервал уровня значимости $\alpha_2$ имеет вид:
    $$
    \hat{\lambda} \pm z_{1-\alpha_2/2} \cdot \frac{\hat{\lambda}}{\sqrt{n}}
    $$
    где $z_{1-\alpha_2/2}$ — квантиль стандартного нормального распределения.

    Квантиль $z_{1-\alpha_2/2} = 1.6449$

    Доверительный интервал (90.0\%): (0.2752, 0.4420)

    \subsection{Пункт e}
    Критерий Колмогорова основан на статистике:
    $$
    D_n = \sup_x |F_n(x) - F(x)|
    $$
    где $F_n(x)$ — эмпирическая функция распределения, $F(x)$ — теоретическая функция распределения.
    Для показательного распределения с параметром $\lambda_0$:
    $$
    F(x) = 1 - e^{-\lambda_0 x}, \quad x \geq 0
    $$

    Критерий Колмогорова-Смирнова:

    Статистика $D_n$: 0.2831, Критическое значение: 0.1725

    P-value: 0.0005

    Гипотеза отвергается

    \subsection{Пункт f}
    Критерий $\chi^2$ основан на сравнении наблюдаемых и ожидаемых частот в интервалах:
    $$
    \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
    $$
    где $O_i$ — наблюдаемая частота в $i$-м интервале, $E_i$ — ожидаемая частота.

    $\chi^2$ статистика: 14.4669

    Критическое значение ($\alpha=0.1$): 6.2514

    p-значение: 0.002334

    Степени свободы: 3

    Гипотеза отвергается на уровне 0.1


    \subsection{Пункт g}
    Критерий $\chi^2$ для проверки сложной гипотезы

    При проверке сложной гипотезы параметр $\lambda$ оценивается по выборке:
    Оценка $\lambda$: 0.3586

    Критерий $\chi^2$ для сложной гипотезы:

    Статистика $\chi^2$: 10.9186

    Критическое значение ($\alpha=0.1$): 4.6052

    p-значение: 0.0043

    Степени свободы: 2

    Гипотеза отвергается на уровне 0.1
    
    Таблица частот:

    [0.00, 1.40): O=30, E=19.74

    [1.40, 2.80): O=4, E=11.95

    [2.80, 4.20): O=6, E=7.23

    [4.20, 16.80): O=10, E=10.97
    
    \subsection{Пункт h}
    Для проверки простой гипотезы $H_0: \lambda = \lambda_0$ против альтернативы $H_1: \lambda = \lambda_1$ наиболее мощный критерий основан на отношении правдоподобия:
    $$
    \Lambda = \frac{L(\lambda_0)}{L(\lambda_1)} = \frac{\lambda_0^n e^{-\lambda_0 \sum_{i=1}^{n} x_i}}{\lambda_1^n e^{-\lambda_1 \sum_{i=1}^{n} x_i}} = \left(\frac{\lambda_0}{\lambda_1}\right)^n e^{-(\lambda_0-\lambda_1) \sum_{i=1}^{n} x_i}
    $$
    Логарифмируя:
    $$
    \ln \Lambda = n \ln\left(\frac{\lambda_0}{\lambda_1}\right) - (\lambda_0-\lambda_1) \sum_{i=1}^{n} x_i
    $$
    Критическая область имеет вид $\ln \Lambda < c$, где $c$ определяется уровнем значимости $\alpha_2$.

    Критическая область: $sum \, data > 179.54$

    Сумма данных: 139.43
    
    Решение: Не отвергаем $H_0$
 
    При замене гипотез местами:

    Критическая область: $sum \, data < 294.14$

    Решение: Отвергаем $H_0$
\end{document}