\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[left=15mm, top=15mm, right=15mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}



% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Индивидуальное домашнее задание №4}\\
        \large{по дисциплине}\\
        \large{<<Математическая статистика>>}\\
        \large{Вариант 27}\\
        
        % \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20102 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Малов С. В. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    \section {Задание №1}
    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1.png}
    \end{figure}

    \subsection{Пункт a}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.75\linewidth]{img/task1_1.png}
    \end{figure}


    \textbf{Формулировка линейной регрессионной модели}
    Линейная регрессионная модель зависимости $Y$ от $X$ имеет вид:
    $$
    Y = \beta_1 + \beta_2 X + \epsilon,
    $$
    где:
    - $\beta_1$ — параметр сдвига,
    - $\beta_2$ — параметр масштаба,
    - $\epsilon$ — случайная ошибка.
    
    \textbf{Построение МНК-оценок параметров}
    Метод наименьших квадратов (МНК) используется для нахождения оценок $\hat{\beta_1}$ и $\hat{\beta_2}$, которые минимизируют сумму квадратов остатков.

    $\beta_1 = 15.5869$

    $\beta_2 = -0.2522$

    $R^2$ линейной модели: 0.0144

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1_2.png}
    \end{figure}

    \textbf{Распределение точек относительно линии}
    Точки разбросаны, линия не отражает тренд, что говорит о плохом соответствии.

    \textbf{Наклон линии}: Линия близка к горизонтальной, зависимость слабая.

    Таким образом, Между $X$ и $Y$ нет линейной зависимости. Линейная модель не подходит для описания данных.

    \newpage
    \subsection{Пункт b}

    \textbf{Формулировка полиномиальной регрессионной модели}
    Полиномиальная регрессионная модель зависимости $Y$ от $X$ имеет вид:
    $$
    Y = \beta_1 + \beta_2 X + \beta_3 X^2 + \epsilon,
    $$
    где:
    \begin{itemize}
        \item $\beta_1$ — параметр сдвига,
        \item $\beta_2$ — линейный коэффициент при $X$,
        \item $\beta_3$ —  квадратичный коэффициент при $X^2$,
        \item $\epsilon$ — случайная ошибка
    \end{itemize}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1_3.png}
    \end{figure}

    Полиномиальная модель:
    $\beta_1 = 16.8727$
    $\beta_2 = -1.1208$
    $\beta_3 = 0.1296$

    $R^2$ полиномиальной модели: 0.0240


    \textbf{Распределение точек относительно линии}: Точки разбросаны, линия не отражает тренд, что говорит о плохом соответствии.  

    \textbf{Низкий R²} означает, что квадратичная модель плохо описывает связь между $X$ и $Y$. 

    \textbf{Результаты указывают на то, что квадратичная модель не подходит для описания данных.}

    \newpage
    \subsection{Пункт c}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.95\linewidth]{img/task1_4.png}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/task1_5.png}
    \end{figure}

    \newpage
    \textbf{Проверка нормальности с помощью критерия $\chi^2$}

    Этапы:
    \begin{enumerate}
        \item Гипотезы:
        \begin{itemize}
            \item $H_0$: Остатки имеют нормальное распределение.
            \item $H_1$: Остатки не имеют нормального распределения.
        \end{itemize}
        \item Разделить данные на интервалы (бины): Используем те же интервалы, что и в гистограмме.
        \item Рассчитать наблюдаемые ($O_i$) и ожидаемые ($E_i$) частоты:
        \begin{itemize}
            \item $E_i = N \cdot P$ (для $i$-го интервала), где $P$ — вероятность из нормального распределения $N(\mu, \sigma^2)$.
        \end{itemize}
        \item Вычислить статистику $\chi^2$:
    $$
    \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}.
    $$
        \item Сравнить с критическим значением $\chi^2$: Если $\chi^2 > \chi^2_{\text{крит}}$, отвергаем $H_0$.
    \end{enumerate}

    Хи-квадрат статистика: 2.7737

    Критическое значение: 13.3882

    p-value: 0.7348

    Не отвергаем $H_0$: распределение нормальное

    \textbf{Визуально:} Остатки близки к нормальному распределению.

    \textbf{Статистически:} Критерий $\chi^2$ не выявил значимых отклонений от нормальности на уровне $\alpha=0.02$.

    Предположение о нормальности ошибок выполняется.

    \subsection{Пункт d}

    Частные интервалы строятся для каждого параметра отдельно, используя t-распределение.

    \textbf{Формула:}
    $$
    \hat{\beta_j} \pm t_{1-\alpha/2, n-p} \cdot SE(\hat{\beta_j}),
    $$
    где:
    \begin{itemize}
        \item $\hat{\beta_j}$ - оценка параметра,
        \item $SE(\hat{\beta_j})$ - стандартная ошибка параметра,
        \item $t_{1-\alpha/2}$ - критическое значение t-распределения,
        \item $n$ - число наблюдений,
        \item $p$ - число параметров модели (для квадратичной модели $p = 3$).
    \end{itemize}

    Доверительные интервалы (уровень 0.98):
    \begin{itemize}
        \item Доверительный интервал для $\beta_2$ (98.0\%): [-4.2930, 2.0514]
        \item Доверительный интервал для $\beta_3$ (98.0\%): [-0.3310, 0.5902]
    \end{itemize}

    \textbf{Совместные доверительные интервалы}
    Совместные интервалы учитывают корреляцию между оценками параметров. Используем метод Бонферрони или F-распределение.

    \textbf{Метод Бонферрони}

    Формула:
    $$
    \hat{\beta_j} \pm t_{1-\alpha/(2k),n-p} \cdot SE(\hat{\beta_j}),
    $$
    где $k=2$ (число параметров $\beta_2$ и $\beta_3$).


    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1_6.png}
    \end{figure}

    Ковариационная матрица для $\beta_2$ и $\beta_3$:

    \begin{verbatim}
                X        X2
        X   1.734960 -0.245172
        X2 -0.245172  0.036575
    \end{verbatim}

    Совместные интервалы (Бонферрони):
    \begin{itemize}
        \item $\beta_2$: [-4.657, 2.415]
        \item $\beta_3$: [-0.384, 0.643]
    \end{itemize}

    \textbf{Метод F-распределения}

    Формула:
    $$
    (\hat{\beta} - \beta)^T \cdot Cov(\hat{\beta})^{-1} \cdot (\hat{\beta} - \beta) \leq F_{1-\alpha, 2, n-p},
    $$
    где $F_{1-\alpha, 2, n-p}$ - критическое значение F-распределения.

    Полная ковариационная матрица:
    \begin{verbatim}
                const       X      X2
        const  4.7543 -2.7403  0.3629
        X     -2.7403  1.7350 -0.2452
        X2     0.3629 -0.2452  0.0366
    \end{verbatim}

    Вектор оценок параметров [$\beta_2$, $\beta_3$]:
    [-1.120772, 0.129577]

    \subsection{Пункт e}
    \textbf{Гипотеза линейности}
    \begin{itemize}
        \item $H_0$: Зависимость $Y$ от $X$ линейна ($\beta_3 = 0$).
        \item $H_1$: Зависимость нелинейна ($\beta_3 \neq 0$).
    \end{itemize}

    \textbf{Гипотеза независимости}
    \begin{itemize}
        \item $H_0$: $Y$ не зависит от $X$ линейна ($\beta_2 = \beta_3 = 0$).
        \item $H_1$: $Y$ зависит от $X$ линейна (хотя бы один из $\beta_2, \beta_3 \neq 0$).
    \end{itemize}

    \textbf{Проверка гипотезы линейности ($H_0: \beta_3 = 0$):}
    \begin{itemize}
        \item t-статистика: 0.6775
        \item p-значение: 0.5014
        \item Нет оснований отвергать гипотезу о линейности (p > 0.02).
    \end{itemize}

    \textbf{Проверка гипотезы независимости ($H_0: \beta_2 = 0$):}
    \begin{itemize}
        \item t-статистика: -0.8509
        \item p-значение: 0.3991
        \item Нет оснований отвергать гипотезу о независимости (p > 0.02).
    \end{itemize}


    \newpage
    \subsection{Пункт f}
    Сравнение моделей по AIC и BIC:
    \begin{verbatim}
        Модель           AIC       BIC
        Линейная        232.83     236.66
        Квадратичная    234.35     240.08
    \end{verbatim}

    \textbf{AIC/BIC} линейной модели меньше, она лучше описывает данные.
    
    \subsection{Пункт g}
    \textbf{Характер зависимости $Y$ от $X$}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{Линейная модель:}
        $$
        Y = 15.59 - 0.25X,\ R^2 = 0.014.
        $$
        \begin{itemize}
            \item Крайне низкий $R^2$ (1.4\%) указывает на отсутствие линейной зависимости.
            \item Коэффициент $\beta_2 = -0.25$ статистически незначим (доверительный интервал [-4.29, 2.05] включает ноль).
        \end{itemize}

        \item \textbf{Квадратичная модель:}
        $$
        Y = 16.87 - 1.12X + 0.13X^2,\ R^2 = 0.024.
        $$
        \begin{itemize}
            \item $R^2 = 2.4\%$ показывает, что модель объясняет лишь незначительную часть вариации.
            \item Коэффициенты:
            \begin{itemize}
                \item $\beta_2 = -1.12$ (линейный член): интервал [-4.29, 2.05] включает ноль.
                \item $\beta_3 = 0.13$ (квадратичный член): интервал [-0.33, 0.59] включает ноль.
            \end{itemize}
        \end{itemize}
    \end{itemize}

    \textbf{Проверка гипотез}\\
    Остатки близки к нормальному распределению. Критерий $\chi^2$ не выявил значимых отклонений от нормальности на уровне $\alpha=0.02$.

    \textit{Предположение о нормальности ошибок выполняется.}

    \textbf{AIC/BIC}
    \begin{center}
    \begin{tabular}{|l|c|c|}
    \hline
    Модель & AIC & BIC \\
    \hline
    Линейная & 232.83 & 236.66 \\
    \hline
    Квадратичная & 234.35 & 240.08 \\
    \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

    \begin{itemize}
        \item \textbf{Линейная модель} имеет более низкие AIC/BIC, чем квадратичная.
    \end{itemize}

    \textbf{Аномалии в результатах}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{Парадокс низкого $R^2$:}
        \begin{itemize}
            \item Обе модели объясняют менее 3\% вариации, что ставит под сомнение их практическую применимость.
        \end{itemize}
    \end{itemize}

    \textbf{Итоговый вывод}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{Отсутствие значимой связи:} Ни линейная, ни квадратичная модели не демонстрируют статистически значимой зависимости $Y$ от $X$ на уровне $\alpha=0.02$.
        \item \textbf{Рекомендации:}
        \begin{itemize}
            \item Проверить данные на наличие выбросов или ошибок.
            \item Рассмотреть другие предикторы или преобразования.
            \item Увеличить объем данных для повышения надежности тестов.
        \end{itemize}
    \end{itemize}

    \newpage
    \section{Задание 2}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2.png}
    \end{figure}

    \subsection{Пункт a}
    \textbf{1. Формулировка модели двухфакторного дисперсионного анализа}

    Модель с взаимодействием факторов:
    $$
    Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk},
    $$
    где:
    \begin{itemize}
        \item $Y_{ijk}$ — наблюдаемое значение переменной $Y$ для $i$-го уровня фактора $A$, $j$-го уровня фактора $B$, $k$-го повторения,
        \item $\mu$ — общее среднее,
        \item $\alpha_i$ — эффект $i$-го уровня фактора $A$,
        \item $\beta_j$ — эффект $j$-го уровня фактора $B$,
        \item $(\alpha \beta)_{ij}$ — эффект взаимодействия факторов $A$ и $B$,
        \item $\epsilon_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$ — случайная ошибка.
    \end{itemize}

    \newpage
    \textbf{2. Построение МНК-оценок параметров}

    Оценки параметров полной модели:
    \begin{verbatim}
        Intercept              11.998333
        C(A)[T.2]               2.440000
        C(B)[T.2]              -2.586667
        C(B)[T.3]               4.146667
        C(B)[T.4]              -0.345000
        C(A)[T.2]:C(B)[T.2]    10.131667
        C(A)[T.2]:C(B)[T.3]     1.561667
        C(A)[T.2]:C(B)[T.4]     3.795000
    \end{verbatim}

    \textbf{3. Несмещенная оценка дисперсии}

    Несмещенная оценка дисперсии ошибок:
    $$
    \hat{\sigma}^2 = \frac{SS_{\text{res}}}{df_{\text{res}}} = 0.757,
    $$
    где:
    \begin{itemize}
        \item $SS_{\text{res}}$ — сумма квадратов остатков,
        \item $df_{\text{res}} = n - p$ — степени свободы ($n$ — число наблюдений, $p$ — число параметров).
    \end{itemize}

    \subsection{Пункт b}

    Сводная таблица средних значений Y:

    \begin{verbatim}
        B          1          2          3          4
        A                                            
        1  11.998333   9.411667  16.145000  11.653333
        2  14.438333  21.983333  20.146667  17.888333
    \end{verbatim}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2_1.png}
    \end{figure}

    \textbf{Визуальная проверка аддитивности:}

    \begin{itemize}
        \item Пересечение линий: График зависимости $Y$ от $A$ при фиксированных $B$ показывает, что линии для разных уровней $B$ пересекаются, особенно при $B=4$. Это указывает на наличие взаимодействия между факторами.
        \item Следствия: Взаимодействие факторов может означать, что влияние одного фактора на зависимую переменную $Y$ зависит от другого фактора.
    \end{itemize}


    \newpage
    \subsection{Пункт c}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2_2.png}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.8\linewidth]{img/task2_3.png}
    \end{figure}

    \textbf{Тест Шапиро-Уилка:} p-value = 0.949

    \textbf{Не отвергаем $H_0$: остатки нормальны.}

    \textbf{Результаты:}
    \begin{itemize}
        \item Гистограмма: Распределение остатков близко к нормальному, совпадает с наложенной кривой $N(0, \sigma^2)$.
        \item Q-Q график: Точки лежат вдоль линии $y=x$, что подтверждает нормальность.
        \item Тест Шапиро-Уилка: гипотеза о нормальности не отвергается.
    \end{itemize}

    \subsection{Пункт d}
    Таблица ANOVA:

    \begin{verbatim}
        df      sum_sq     mean_sq           F        PR(>F)
        C(A)        1.0  478.108752  478.108752  631.694471  4.061068e-26
        C(B)        3.0  153.241356   51.080452   67.489330  1.051893e-15
        C(A):C(B)   3.0  178.558140   59.519380   78.639144  8.022881e-17
        Residual   40.0   30.274683    0.756867         NaN           NaN
    \end{verbatim}

    \textbf{Результаты ANOVA}
    \begin{itemize}
        \item Фактор A:
        $$
        F = 631.69,\ p\text{-value} < 0.001 \ \rightarrow \ \text{значимо влияет на } Y.
        $$
        
        \item Фактор B:
        $$
        F = 67.49,\ p\text{-value} < 0.001 \ \rightarrow \ \text{значимо влияет на } Y.
        $$
    
        \item Взаимодействие $A \times B$:
        $$
        F = 78.64,\ p\text{-value} < 0.001 \ \rightarrow \ \text{значимо влияет на } Y.
        $$

        \item Вывод:
        На уровне значимости $\alpha=0.02$ все факторы (A, B) и их взаимодействие \textbf{значимо} ($p < 0.02$). Это означает, что влияние фактора A на Y зависит от уровня фактора B, и наоборот.
    \end{itemize}

    \subsection{Пункт e}

    Для выбора оптимальной модели используются критерии:
    \begin{itemize}
        \item AIC оценивает баланс между качеством подгонки модели и её сложностью, накладывая штраф за избыточное количество параметров.
        \item BIC работает аналогично AIC, но применяет более строгий штраф за сложность, особенно при больших объемах данных.
    \end{itemize}

    Сравниваем две модели:
    \begin{enumerate}
        \item Полная модель (с взаимодействием): 
        $$
        Y \sim A + b + A : B.
        $$
        \item Аддитивная модель (без взаимодействия):
        $$
        Y \sim A + B.
        $$
    \end{enumerate}

    \begin{verbatim}
        Модель        AIC       BIC
        Полная       130.10    145.07
        Аддитивная   216.79    226.15
    \end{verbatim}

    \textbf{Вывод о сравнении моделей}

    \begin{itemize}
        \item \textbf{Результаты AIC и BIC:}
        \begin{itemize}
            \item Полная модель имеет AIC = 130.10, в то время как аддитивная модель имеет AIC = 216.79. Это указывает на значительное преимущество полной модели.
            \item Полная модель также имеет BIC = 145.07, а аддитивная модель — BIC = 226.15. Разница подтверждает выбор полной модели.
        \end{itemize}

        \item \textbf{Заключение:}
        \begin{itemize}
            \item Полная модель \textbf{предпочтительнее}, так как она лучше соответствует данным, что подтверждается меньшими значениями AIC и BIC.
            \item Аддитивная модель не учитывает взаимодействие факторов.
        \end{itemize}
    \end{itemize}

    \subsection{Пункт f}

    \textbf{1. Основные эффекты факторов A и B}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{Фактор A:}  
        Оказал сильное статистически значимое влияние на $Y$ ($F=631.69, p<0.001$).  


        \item \textbf{Фактор B:}  
        Также значимо влияет на $Y$ ($F=67.49, p<0.001$).  
    \end{itemize}

    \textbf{2. Взаимодействие факторов $A \times B$}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{Статистическая значимость:}  
        Взаимодействие значимо ($F=78.64, p<0.001$).
        
        \item \textbf{Визуальное подтверждение:}  
        График зависимости $Y$ от $A$ при фиксированных $B$ показывает пересечение линий (особенно для $B=4$), что указывает на неаддитивность эффектов.
    \end{itemize}


    \textbf{3. Выбор оптимальной модели}

    AIC/BIC:
      
    \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|X|X|}
    \hline
    Модель & AIC & BIC \\
    \hline
    Полная (с взаимодействием) & 130.10 & 145.07 \\
    \hline
    Аддитивная & 216.79 & 226.15 \\
    \hline
    \end{tabularx}

    Разница $\Delta AIC = 86.69$ и $\Delta BIC = 81.08$ явно указывает на преимущество полной модели.  
    
    Аддитивная модель не учитывает взаимодействие, что приводит к потере информации.


    \textbf{4. Нормальность остатков}

    \begin{itemize}
        \item Тест Шапиро-Уилка:  
        $$p\text{-value} = 0.949 \implies \text{гипотеза о нормальности остатков не отвергается}.$$
        \item Графическая проверка:  
        Гистограмма остатков близка к нормальной форме.  
        \item Q-Q график показывает совпадение точек с линией $y = x$.
    \end{itemize}

    \textbf{Рекомендации:}  
    Для прогнозирования $Y$ необходимо учитывать взаимодействие $A \times B$, так как его игнорирование приведет к систематической ошибке.


    \textbf{Итоговый вывод}
    \begin{enumerate}
        \item Полная модель с взаимодействием предпочтительна по критериям AIC/BIC и объясняет данные лучше аддитивной.  
        \item Нормальность остатков подтверждена тестами и графиками.
    \end{enumerate}

    \textbf{Рекомендации:}  
    \begin{itemize}
        \item Проверить данные на наличие выбросов для уровня $B=4$.  
        \item Использовать полную модель для прогнозирования и анализа эффектов.
    \end{itemize}
\end{document}