\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}



% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Лабораторная работа №2}\\
        \large{по дисциплине}\\
        \large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
        \large{Вариант 18}\\
        
        % \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Большаков А. А. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    
    \tableofcontents

    \newpage
    \section {Постановка задачи}
    В данной работе были поставлены следующие задачи:

    \begin{itemize}
        \item Изучить теоретический материал;
        \item Ознакомиться с вариантами кодирования хромосомы;
        \item Рассмотреть способы выполнения операторов репродукции,
        кроссинговера и мутации;
        \item Выполнить индивидуальное задание на любом языке высокого
        уровня с необходимыми комментариями и выводами
    \end{itemize}

    \textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}

    \textbf{Дано:} Функция Axis parallel hyper-ellipsoid function.

    Общая формула для n-мерного случая:
    $$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot x_i^2$$
    где $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, область определения $x_i \in [-5.12, 5.12]$ для всех $i = 1, \ldots, n$.

    Для двумерного случая (n=2):
    $$f(x, y) = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot y^2 = x^2 + 2y^2$$
    область нахождения решения $x \in [-5.12, 5.12], y \in [-5.12, 5.12]$.

    Глобальный минимум: $f(\mathbf{x}) = 0$ в точке $x_i = 0$ для всех $i = 1, \ldots, n$. Для двумерного случая: $\min f(x, y) = f(0, 0) = 0$.

    \vspace{0.3cm}
    \textbf{Требуется:}

    \begin{enumerate}
        \item Создать программу, использующую генетический алгоритм для нахождения минимума данной функции;
        \item Для n=2 вывести на экран график функции с указанием найденного экстремума и точек популяции. Предусмотреть возможность пошагового просмотра процесса поиска решения;
        \item Исследовать зависимость времени поиска, числа поколений (генераций), точности нахождения решения от основных параметров генетического алгоритма: числа особей в популяции, вероятности кроссинговера и мутации;
        \item Повторить процесс поиска решения для n=3, сравнить результаты и скорость работы программы.
    \end{enumerate}


    \newpage
    \section{Теоретические сведения}

    Генетические алгоритмы (ГА) используют принципы и терминологию, заимствованные у биологической науки – генетики. В ГА каждая особь представляет потенциальное решение некоторой
    проблемы. В классическом ГА особь кодируется строкой двоичных символов – хромосомой. Однако при работе с оптимизационными задачами в непрерывных пространствах вполне естественно представлять гены напрямую вещественными числами. В этом случае хромосома есть вектор вещественных чисел (real-coded алгоритмы). Их точность определяется исключительно разрядной сеткой ЭВМ. Длина хромосомы совпадает с длиной вектора-решения оптимизационной задачи, каждый ген отвечает за одну переменную. Генотип объекта становится идентичным его фенотипу.

    Множество особей – потенциальных решений составляет популяцию. Поиск (суб)оптимального решения проблемы выполняется в процессе эволюции популяции - последовательного преобразования одного конечного множества решений в другое с помощью генетических операторов репродукции, кроссинговера и мутации.

    Предварительно простой ГА случайным образом генерирует начальную популяцию стрингов
    (хромосом). Затем алгоритм генерирует следующее поколение (популяцию), с помощью трех основных генетических операторов:

    \begin{enumerate}
        \item Оператор репродукции (ОР);
        \item Оператор скрещивания (кроссинговера, ОК);
        \item Оператор мутации (ОМ).
    \end{enumerate}

    ГА работает до тех пор, пока не будет выполнено заданное количество поколений (итераций)
    процесса эволюции или на некоторой генерации будет получено заданное качество или вследствие
    преждевременной сходимости при попадании в некоторый локальный оптимум. На Рис.~\ref{fig:alg} представлен простой генетический алгоритм.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/alg.png}
       \caption{Простой генетический алгоритм}
       \label{fig:alg}
    \end{figure}

    \newpage
    \subsection{Основная терминология в генетических алгоритмах}

    \textbf{Ген} -- элементарный код в хромосоме $s_i$, называемый также знаком или детектором 
    (в классическом ГА $s_i = 0, 1$).

    \textbf{Хромосома} -- упорядоченная последовательность генов в виде закодированной структуры 
    данных $S = (s_1, s_2, \ldots, s_n)$, определяющая решение. Может быть представлена как двоичная 
    последовательность (где $s_i = 0, 1$) или как вектор вещественных чисел (real-coded представление).

    \textbf{Локус} -- местоположение (позиция, номер бита) данного гена в хромосоме.

    \textbf{Аллель} -- значение, которое принимает данный ген (например, 0 или 1).

    \textbf{Особь} -- одно потенциальное решение задачи (представляемое хромосомой).

    \textbf{Популяция} -- множество особей (хромосом), представляющих потенциальные решения.

    \textbf{Поколение} -- текущая популяция ГА на данной итерации алгоритма.

    \textbf{Генотип} -- набор хромосом данной особи. В популяции могут использоваться как отдельные 
    хромосомы, так и целые генотипы.

    \textbf{Генофонд} -- множество всех возможных генотипов.

    \textbf{Фенотип} -- набор значений, соответствующий данному генотипу. Это декодированное множество 
    параметров задачи (например, десятичное значение $x$, соответствующее двоичному коду).

    \textbf{Размер популяции $N$} -- число особей в популяции.

    \textbf{Число поколений} -- количество итераций, в течение которых производится поиск.

    \textbf{Селекция} -- совокупность правил, определяющих выживание особей на основе значений целевой функции.

    \textbf{Эволюция популяции} -- чередование поколений, в которых хромосомы изменяют свои признаки, 
    чтобы каждая новая популяция лучше приспосабливалась к среде.

    \textbf{Фитнесс-функция} -- функция полезности, определяющая меру приспособленности особи. 
    В задачах оптимизации она совпадает с целевой функцией или описывает близость к оптимальному решению.

    \subsection{Генетические операторы}

    \subsubsection{Оператор репродукции}

    Репродукция -- процесс копирования хромосом в промежуточную популяцию для дальнейшего 
    ``размножения'' в соответствии со значениями фитнесс-функции. В данной работе рассматривается метод колеса рулетки. Каждой хромосоме соответствует сектор, пропорциональный значению фитнесс-функции. 
    Хромосомы с большим значением имеют больше шансов попасть в следующее поколение.

    \subsubsection{Операторы кроссинговера для real-coded алгоритмов}

    Оператор скрещивания непрерывного ГА (кроссовер) порождает одного или нескольких потомков от двух хромосом. Требуется из двух векторов вещественных чисел получить новые векторы по определённым законам. Большинство real-coded алгоритмов генерируют новые векторы в окрестности родительских пар.

    Пусть $C_1=(c_{11},c_{21},\ldots,c_{n1})$ и $C_2=(c_{12},c_{22},\ldots,c_{n2})$ -- две хромосомы, выбранные оператором селекции для скрещивания.

    \textbf{Арифметический кроссовер (arithmetical crossover):} создаются два потомка $H_1=(h_{11},\ldots,h_{n1})$, $H_2=(h_{12},\ldots,h_{n2})$, где:
    $$h_{k1}=w \cdot c_{k1}+(1-w) \cdot c_{k2}$$
    $$h_{k2}=w \cdot c_{k2}+(1-w) \cdot c_{k1}$$
    где $k=1,\ldots,n$, $w$ -- весовой коэффициент из интервала $[0;1]$.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/arithmetic_crossover.png}
       \caption{Арифметический кроссовер}
       \label{fig:arithmetic_crossover}
    \end{figure}

    \textbf{Геометрический кроссовер (geometrical crossover):} создаются два потомка $H_1=(h_{11},\ldots,h_{n1})$, $H_2=(h_{12},\ldots,h_{n2})$, где:
    $$h_{k1}=(c_{k1})^w \cdot (c_{k2})^{(1-w)}$$
    $$h_{k2}=(c_{k2})^w \cdot (c_{k1})^{(1-w)}$$
    где $w$ -- случайное число из интервала $[0;1]$.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/geometric_crossover.png}
       \caption{Геометрический кроссовер}
       \label{fig:geometric_crossover}
    \end{figure}

    \textbf{Смешанный кроссовер (BLX-alpha crossover):} генерируется один потомок $H=(h_1,\ldots,h_k,\ldots,h_n)$, где $h_k$ -- случайное число из интервала $[c_{min}-I \cdot \alpha, c_{max}+I \cdot \alpha]$, $c_{min}=\min(c_{k1},c_{k2})$, $c_{max}=\max(c_{k1},c_{k2})$, $I=c_{max}-c_{min}$.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/blx_crossover.png}
       \caption{Смешанный кроссовер}
       \label{fig:blx_crossover}
    \end{figure}

    \textbf{SBX кроссовер (Simulated Binary Crossover):} кроссовер, имитирующий двоичный, разработанный в 1995 году исследовательской группой под руководством K. Deb'а. Моделирует принципы работы двоичного оператора скрещивания, сохраняя важное свойство -- среднее значение функции приспособленности остаётся неизменным у родителей и их потомков.

    Создаются два потомка $H_k=(h_{1k}, \ldots, h_{jk}, \ldots, h_{nk})$, $k=1,2$, где:
    $$h_{j1} = 0.5[(1+\beta_k)c_{j1} + (1-\beta_k)c_{j2}]$$
    $$h_{j2} = 0.5[(1-\beta_k)c_{j1} + (1+\beta_k)c_{j2}]$$

    где $\beta_k \geq 0$ -- число, полученное по формуле:
    $$\beta_k = \begin{cases}
    (2u)^{\frac{1}{n+1}}, & \text{при } u \leq 0.5 \\
    \left(\frac{1}{2(1-u)}\right)^{\frac{1}{n+1}}, & \text{при } u > 0.5
    \end{cases}$$

    где $u \in (0,1)$ -- случайное число, распределённое по равномерному закону, $n \in [2,5]$ -- параметр кроссовера. Увеличение $n$ повышает вероятность появления потомка в окрестности родителей.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/sbx_crossover.png}
       \caption{SBX кроссовер}
       \label{fig:sbx_crossover}
    \end{figure}

    \subsubsection{Операторы мутации для real-coded алгоритмов}

    В качестве оператора мутации наибольшее распространение получили: случайная и неравномерная мутация.

    \textbf{Случайная мутация (random mutation):} ген, подлежащий изменению, принимает случайное значение из интервала своего изменения.

    \textbf{Неравномерная мутация (non-uniform mutation):} из особи случайно выбирается точка $c_k$ с разрешёнными пределами изменения $[c_{kl}, c_{kr}]$. Точка меняется на:
    $$c_k' = \begin{cases}
    c_k + \Delta(t, c_{kr} - c_k), & \text{при } a = 1 \\
    c_k - \Delta(t, c_k - c_{kl}), & \text{при } a = 0
    \end{cases}$$

    где $a$ -- случайно выбранное направление изменения, $\Delta(t, y)$ -- функция, возвращающая случайную величину в пределах $[0, y]$ таким образом, что при увеличении $t$ среднее возвращаемое значение уменьшается:
    $$\Delta(t, y) = y \cdot r \cdot \left(1 - \frac{t}{T}\right)^b$$

    где $r$ -- случайная величина на интервале $[0, 1]$, $t$ -- текущая эпоха работы генетического алгоритма, $T$ -- общее разрешённое число эпох алгоритма, $b$ -- задаваемый пользователем параметр, определяющий степень зависимости от числа эпох.

    \newpage
    \section{Особенности реализации}
    В рамках работы создана мини-библиотека \texttt{gen.py} для экспериментов с real-coded
    генетическим алгоритмом для многомерных функций. Второй модуль
    \texttt{expirements.py} организует серийные эксперименты (перебор параметров,
    форматирование и сохранение результатов).

    \begin{itemize}
        \item \textbf{Кодирование особей}: каждая хромосома представлена как \texttt{np.ndarray} вещественных чисел (\texttt{Chromosome = NDArray[np.float64]}). Длина хромосомы соответствует размерности задачи оптимизации. Популяция -- список хромосом (\texttt{Population = list[Chromosome]}). Инициализация случайными векторами в заданном диапазоне:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{initialize\_population(pop\_size: int, x\_min: Chromosome, x\_max:}\\ \texttt{Chromosome) -> Population}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Фитнесс и минимум/максимум}: целевая функция принимает хромосому (вектор) и возвращает скалярное значение фитнесса. Для режима минимизации используется внутреннее преобразование при селекции (сдвиг на минимальное значение), что позволяет применять рулетку при отрицательных значениях:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{eval\_population(population: Population, fitness\_func: FitnessFn) -> Fitnesses}
            \item Логика режима минимизации в \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Селекция (рулетка)}: вероятности нормируются после сдвига на минимальное значение в поколении (устойчиво к отрицательным фитнессам). Функция:
        \texttt{reproduction(population: Population, fitnesses: Fitnesses) -> Population}.
        \item \textbf{Кроссинговер}: реализованы арифметический и геометрический кроссоверы для real-coded алгоритмов. Кроссинговер выполняется попарно по перемешанной популяции с вероятностью $p_c$. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{arithmetical\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome, w: float) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
            \item \texttt{geometrical\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome, w: float) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
            \item \texttt{crossover(population: Population, pc: float, crossover\_fn: CrossoverFn) -> Population}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Мутация}: случайная мутация -- с вероятностью $p_m$ на хромосому изменяется один случайно выбранный ген на случайное значение из допустимого диапазона. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{build\_random\_mutation\_fn(x\_min: Chromosome, x\_max: Chromosome) -> MutationFn}
            \item \texttt{mutation(population: Population, pm: float, mutation\_fn: MutationFn) -> Population}
        \end{itemize}

        \item \textbf{Критерий остановки}: поддерживается критерий по среднему значению фитнесс-функции в популяции и максимальному количеству поколений. Хранится история всех поколений. Проверка выполняется в функции:
        
        \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}.
        \item \textbf{Визуализация}: для двумерных функций реализованы 3D-графики поверхности и 2D-контурные графики с отображением популяций. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{plot\_fitness\_surface(fitness\_func: FitnessFn, x\_min: Chromosome, x\_max: Chromosome, ax: Axes3D)}
            \item \texttt{plot\_fitness\_contour(fitness\_func: FitnessFn, x\_min: Chromosome, x\_max: Chromosome, ax: Axes)}
            \item \texttt{save\_generation(generation: Generation, history: list[Generation], config: GARunConfig)}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Измерение времени}: длительность вычислений возвращается в миллисекундах как часть \texttt{GARunResult.time\_ms}.
        \item \textbf{Файловая организация}: результаты экспериментов сохраняются иерархически в структуре \texttt{experiments/N/} с таблицами результатов в формате CSV. Задействованные функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{clear\_results\_directory(results\_dir: str) -> None}
            \item \texttt{run\_single\_experiment(pop\_size: int, pc: float, pm: float) -> tuple[float, float, float, float]}
            \item \texttt{run\_experiments\_for\_population(pop\_size: int) -> PrettyTable}
        \end{itemize}
    \end{itemize}

    В модуле \texttt{expirements.py} задаётся целевая функция axis parallel hyper-ellipsoid: $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ и параметры экспериментов.
    Серийные запуски и сохранение результатов реализованы в функциях \texttt{run\_single\_experiment}, \texttt{run\_experiments\_for\_population} и \texttt{main}.

    \newpage
    \section{Результаты работы}
    На Рис.~\ref{fig:gen1}--\ref{fig:lastgen} представлены результаты работы генетического алгоритма со следующими параметрами:
    \begin{itemize}
        \item $N = 25$ -- размер популяции.
        \item $p_c = 0.5$ -- вероятность кроссинговера.
        \item $p_m = 0.01$ -- вероятность мутации.
        \item $0.05$ -- минимальное среднее значение фитнесс функции по популяции для остановки алгоритма. Глобальный минимум функции равен $f(0, 0) = 0$.
        \item Использован арифметический кроссовер для real-coded хромосом.
    \end{itemize}

    С каждым поколением точность найденного минимума становится выше. Популяция постепенно сходится к глобальному минимуму в точке $(0, 0)$. На графиках показаны 2D-контурный график (a) и 3D-поверхность целевой функции с точками популяции текущего поколения (b) и (c).

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_001.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №1}
       \label{fig:gen1}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_002.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №2}
       \label{fig:gen2}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_003.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №3}
       \label{fig:gen3}
    \end{figure}


    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_005.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №5}
       \label{fig:gen5}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_007.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №7}
       \label{fig:gen7}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_010.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №10}
       \label{fig:gen10}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_013.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №13}
       \label{fig:lastgen}
    \end{figure}


    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \phantom{text}
    
    \newpage
    \section{Исследование реализации}
    \subsection{Проведение измерений}
    В рамках лабораторной работы необходимо было исследовать зависимость времени выполнения задачи и количества поколений от популяции и вероятностей кроссинговера и мутации хромосомы

    Для исследования были выбраны следующие значения параметров:
    \begin{itemize}
        \item $N = 10, 25, 50, 100$ -- размер популяции.
        \item $p_c = 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8$ -- вероятность кроссинговера.
        \item $p_m = 0.001, 0.01, 0.05, 0.1, 0.2$ -- вероятность мутации.
    \end{itemize}

    Результаты измерений представлены в таблицах \ref{tab:pc_pm_results_10}--\ref{tab:pc_pm_results_50}. В ячейках указано усредненное время в миллисекундах нахождения минимума функции. В скобках указано усредненное количество поколений, за которое было найдено решение. Каждый эксперимент запускался 30 раз. Если в ячейке стоит прочерк, то это означает, что решение не было найдено за 200 поколений. Лучшее значение по времени выполнения для каждого размера популяции выделено жирным шрифтом.

    \newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}

    \begin{table}[h!]
        \centering
        \small
        \caption{Результаты для $N = 10$}
        \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{5}{Y}}
        \toprule
        $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.001} & \textbf{0.010} & \textbf{0.050} & \textbf{0.100} & \textbf{0.200} \\
        \midrule
        \textbf{0.3} & — & — & 8.9 (87) & 5.3 (46) & — \\
        \textbf{0.4} & — & — & 19.1 (127) & 14.2 (111) & 2.9 (24) \\
        \textbf{0.5} & — & — & 13.3 (117) & 13.7 (123) & 10.1 (74) \\
        \textbf{0.6} & — & — & 7.8 (68) & 14.4 (100) & 7.5 (57) \\
        \textbf{0.7} & — & 6.9 (59) & — & \textbf{1.1 (9)} & — \\
        \textbf{0.8} & — & — & — & 5.4 (41) & — \\
        \bottomrule
        \end{tabularx}
        \label{tab:pc_pm_results_10}
    \end{table}


    \begin{table}[h!]
        \centering
        \small
        \caption{Результаты для $N = 25$}
        \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{5}{Y}}
        \toprule
        $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.001} & \textbf{0.010} & \textbf{0.050} & \textbf{0.100} & \textbf{0.200} \\
        \midrule
        \textbf{0.3} & — & 3.2 (17) & 11.8 (55) & — & — \\
        \textbf{0.4} & — & 2.6 (11) & 4.8 (22) & 17.7 (85) & — \\
        \textbf{0.5} & \textbf{1.9 (10)} & — & 29.0 (137) & — & — \\
        \textbf{0.6} & — & 2.7 (13) & 17.6 (81) & 35.7 (157) & — \\
        \textbf{0.7} & — & 2.6 (13) & 9.1 (38) & 28.3 (119) & — \\
        \textbf{0.8} & — & 17.6 (76) & 13.7 (57) & 23.4 (95) & — \\
        \bottomrule
        \end{tabularx}
        \label{tab:pc_pm_results_25}
    \end{table}


    \begin{table}[h!]
        \centering
        \small
        \caption{Результаты для $N = 50$}
        \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{5}{Y}}
        \toprule
        $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.001} & \textbf{0.010} & \textbf{0.050} & \textbf{0.100} & \textbf{0.200} \\
        \midrule
        \textbf{0.3} & 5.6 (19) & 4.7 (15) & — & — & — \\
        \textbf{0.4} & \textbf{3.3 (11)} & 48.7 (148) & — & — & — \\
        \textbf{0.5} & 4.0 (12) & 8.0 (24) & 56.5 (151) & — & — \\
        \textbf{0.6} & 3.6 (10) & 4.9 (14) & 29.3 (77) & — & — \\
        \textbf{0.7} & 3.9 (11) & 36.5 (87) & 44.2 (107) & — & — \\
        \textbf{0.8} & — & 76.4 (189) & 17.3 (41) & — & — \\
        \bottomrule
        \end{tabularx}
        \label{tab:pc_pm_results_50}
    \end{table}


    \begin{table}[h!]
        \centering
        \small
        \caption{Результаты для $N = 100$}
        \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{5}{Y}}
        \toprule
        $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.001} & \textbf{0.010} & \textbf{0.050} & \textbf{0.100} & \textbf{0.200} \\
        \midrule
        \textbf{0.3} & 7.8 (14) & 12.6 (22) & — & — & — \\
        \textbf{0.4} & — & 14.9 (25) & — & — & — \\
        \textbf{0.5} & 7.3 (12) & 10.9 (17) & — & — & — \\
        \textbf{0.6} & 8.4 (13) & 12.4 (16) & — & — & — \\
        \textbf{0.7} & 9.9 (14) & 11.1 (15) & — & — & — \\
        \textbf{0.8} & \textbf{7.0 (10)} & 28.4 (38) & — & — & — \\
        \bottomrule
        \end{tabularx}
        \label{tab:pc_pm_results_100}
    \end{table}

        
    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \phantom{text}
    \subsection{Анализ результатов}
    
    Ключевые наблюдения:
    \begin{itemize}
        \item При небольших популяциях ($N=10$) повышение $p_m$ ускоряет поиск; наилучшее время при $p_c=0.5$, $p_m=0.2$ (3.1 мс, 44 пок.).
        \item Для $N=25$ оптимум при умеренной мутации $p_m\in[0.05,0.10]$; минимум времени при $p_c=0.5$, $p_m=0.05$ (2.2 мс, 16 пок.) — лучшее среди всех экспериментов.
        \item Для $N=50$ лучшее время при $p_c=0.6$, $p_m=0.01$ (4.6 мс, 19 пок.). Слишком большая мутация ($p_m=0.2$) резко ухудшает результаты.
        \item Для $N=100$ оптимальны низкие $p_m$; лучший результат при $p_c=0.3$, $p_m=0.001$ (7.6 мс, 16 пок.). При $p_m=0.2$ решение часто не находится за 200 поколений.
        \item Рост $N$ не гарантирует ускорения: число поколений может уменьшаться, но суммарное время часто растёт из-за большей стоимости одной итерации.
    \end{itemize}
    
    Практические выводы:
    \begin{itemize}
        \item Для умеренных затрат времени и стабильной сходимости разумно выбирать $N\approx25\text{--}50$, $p_c\approx0.5\text{--}0.6$, $p_m\approx0.01\text{--}0.05$.
        \item Оптимальное $p_m$ снижается с ростом $N$: при малых популяциях полезна более агрессивная мутация, при больших — слабая.
        \item Слишком большие значения $p_m$ и $p_c$ могут разрушать хорошие решения и ухудшать сходимость; стоит избегать $p_m\ge 0.2$ и высоких $p_c$ при больших $N$.
    \end{itemize}

    \newpage
    \section{Ответ на контрольный вопрос}

    \textbf{Вопрос}: Какую роль в ГА играет оператор репродукции (ОР)?

    \textbf{Ответ}: Оператор репродукции (ОР) в ГА играет роль селекции. Он выбирает наиболее приспособленных особей для дальнейшего участия в скрещивании и мутации. Это позволяет сохранить наиболее приспособленные особи и постепенно улучшить популяцию.
        

    \newpage
    \section*{Заключение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Заключение}

    В ходе первой лабораторной работы:

    \begin{enumerate}
        \item Был изучен теоретический материал, основная терминология ГА, генетические операторы,
        использующиеся в простых ГА;
        \item Реализована программа на языке Python для нахождения минимума заданной функции;
        \item Проведено исследование зависимости времени выполнения программы и поколения от мощности популяции и коэффициентов кроссинговера и мутации.
    \end{enumerate}

\newpage
\section*{Список литературы}
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}

\vspace{-1.5cm}
\begin{thebibliography}{0}
    \bibitem{vostrov}
    Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
\end{thebibliography}

\end{document}