\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}



% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Лабораторная работа №1}\\
        \large{по дисциплине}\\
        \large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
        \large{Вариант 18}\\
        
        % \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Большаков А. А. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    
    \tableofcontents

    \newpage
    \section {Постановка задачи}
    В данной работе были поставлены следующие задачи:

    \begin{itemize}
        \item Изучить теоретический материал;
        \item Ознакомиться с вариантами кодирования хромосомы;
        \item Рассмотреть способы выполнения операторов репродукции,
        кроссинговера и мутации;
        \item Выполнить индивидуальное задание на любом языке высокого
        уровня с необходимыми комментариями и выводами
    \end{itemize}

    \textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}

    \textbf{Дано:} Функция одной переменной $f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2}$; промежуток нахождения решения $x \in [3.1, 20.0]$.

    \vspace{0.3cm}
    \textbf{Требуется:}

    \begin{enumerate}
        \item Разработать простой генетический алгоритм для нахождения минимума данной функции в заданном промежутке;
        \item Исследовать зависимость времени поиска, числа поколений (генераций) и точности нахождения решения от числа особей в популяции и вероятности кроссинговера и мутации;
        \item Вывести на экран график функции с указанием найденного экстремума для каждого поколения;
        \item Сравнить найденное решение с действительным.
    \end{enumerate}

    \textbf{Ограничения:}
    \begin{enumerate}
        \item $ \min f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2} \approx -0.04957 $
        \item Точность решения составляет 3 знака после запятой.
    \end{enumerate}


    \newpage
    \section{Теоретические сведения}

    Генетиче ские алгоритмы (ГА) используют принципы и терминологию, заимствованные у биологической науки – генетики. В ГА каждая особь представляет потенциальное решение некоторой
    проблемы. В классическом ГА особь кодируется строкой двоичных символов – хромосомой, каждый
    бит которой называется геном. Множество особей – потенциальных решений составляет популяцию. Поиск (суб)оптимального решения проблемы выполняется в процессе эволюции популяции
    - последовательного преобразования одного конечного множества решений в другое с помощью
    генетических операторов репродукции, кроссинговера и мутации.

    Предварительно простой ГА случайным образом генерирует начальную популяцию стрингов
    (хромосом). Затем алгоритм генерирует следующее поколение (популяцию), с помощью трех основных генетических операторов:

    \begin{enumerate}
        \item Оператор репродукции (ОР);
        \item Оператор скрещивания (кроссинговера, ОК);
        \item Оператор мутации (ОМ).
    \end{enumerate}

    ГА работает до тех пор, пока не будет выполнено заданное количество поколений (итераций)
    процесса эволюции или на некоторой генерации будет получено заданное качество или вследствие
    преждевременной сходимости при попадании в некоторый локальный оптимум. На Рис.~\ref{fig:alg} представлен простой генетический алгоритм.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/alg.png}
       \caption{Простой генетический алгоритм}
       \label{fig:alg}
    \end{figure}

    \newpage
    \subsection{Основная терминология в генетических алгоритмах}

    \textbf{Ген} -- элементарный код в хромосоме $s_i$, называемый также знаком или детектором 
    (в классическом ГА $s_i = 0, 1$).

    \textbf{Хромосома} -- упорядоченная последовательность генов в виде закодированной структуры 
    данных $S = (s_1, s_2, \ldots, s_n)$, определяющая решение (в простейшем случае двоичная 
    последовательность -- стринг, где $s_i = 0, 1$).

    \textbf{Локус} -- местоположение (позиция, номер бита) данного гена в хромосоме.

    \textbf{Аллель} -- значение, которое принимает данный ген (например, 0 или 1).

    \textbf{Особь} -- одно потенциальное решение задачи (представляемое хромосомой).

    \textbf{Популяция} -- множество особей (хромосом), представляющих потенциальные решения.

    \textbf{Поколение} -- текущая популяция ГА на данной итерации алгоритма.

    \textbf{Генотип} -- набор хромосом данной особи. В популяции могут использоваться как отдельные 
    хромосомы, так и целые генотипы.

    \textbf{Генофонд} -- множество всех возможных генотипов.

    \textbf{Фенотип} -- набор значений, соответствующий данному генотипу. Это декодированное множество 
    параметров задачи (например, десятичное значение $x$, соответствующее двоичному коду).

    \textbf{Размер популяции $N$} -- число особей в популяции.

    \textbf{Число поколений} -- количество итераций, в течение которых производится поиск.

    \textbf{Селекция} -- совокупность правил, определяющих выживание особей на основе значений целевой функции.

    \textbf{Эволюция популяции} -- чередование поколений, в которых хромосомы изменяют свои признаки, 
    чтобы каждая новая популяция лучше приспосабливалась к среде.

    \textbf{Фитнесс-функция} -- функция полезности, определяющая меру приспособленности особи. 
    В задачах оптимизации она совпадает с целевой функцией или описывает близость к оптимальному решению.

    \subsection{Генетические операторы}

    \subsubsection{Оператор репродукции}

    Репродукция -- процесс копирования хромосом в промежуточную популяцию для дальнейшего 
    ``размножения'' в соответствии со значениями фитнесс-функции. В данной работе рассматривается метод колеса рулетки. Каждой хромосоме соответствует сектор, пропорциональный значению фитнесс-функции. 
    Хромосомы с большим значением имеют больше шансов попасть в следующее поколение.

    \subsubsection{Оператор скрещивания (кроссинговера)}

    Одноточечный кроссинговер выполняется следующим образом:
    \begin{enumerate}
        \item Из промежуточной популяции выбираются две хромосомы (родители).
        \item Определяется случайная точка скрещивания $k \in [1, n-1]$, где $n$ -- длина хромосомы.
        \begin{figure}[h!]
           \centering
           \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/cross1.png}
           \label{fig:cross1}
        \end{figure}
        \item Две новые хромосомы (потомки) формируются путём обмена подстрок после точки $k$.
        \begin{figure}[h!]
           \centering
           \includegraphics[width=0.35\linewidth]{img/cross2.png}
           \label{fig:cross2}
        \end{figure}
    \end{enumerate}

    \subsubsection{Оператор мутации}

    Мутация применяется с малой вероятностью $P_M \approx 0.001$:
    \begin{enumerate}
        \item В хромосоме $A = a_1a_2 \ldots a_n$ выбирается случайная позиция $k$.
        \item Ген $a_k$ инвертируется: $a_k' = \lnot a_k$.
    \end{enumerate}

    \newpage
    \section{Особенности реализации}
    В рамках работы создана мини-библиотека \texttt{gen.py} для экспериментов с простым
    генетическим алгоритмом (ГА) на одной переменной. Второй модуль
    \texttt{expirements.py} организует серийные эксперименты (перебор параметров,
    форматирование и сохранение результатов).

    \begin{itemize}
        \item \textbf{Кодирование особей}: каждая хромосома — список битов фиксированной длины \(L\).
        Длина \(L\) подбирается автоматически так, чтобы шаг дискретизации по \(x\)
        был не хуже заданной точности (например, \(10^{-3}\)). Декодирование — линейное в
        \([x_{\min}, x_{\max}]\). За это отвечают:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{bits\_for\_precision(x\_min: float, x\_max: float, } \\ \texttt{ digits\_after\_decimal: int) -> int}
            \item \texttt{decode\_bits\_to\_x(bits: list[int], x\_min: float, x\_max: float)} \\ \texttt{ -> float}
            \item \texttt{random\_bits(L: int) -> list[int]}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Фитнесс и минимум/максимум}: целевая функция передаётся параметром. Для
        режима \emph{минимизации} используется внутреннее преобразование при селекции (инвертирование
        знака/сдвиг), что позволяет единообразно применять рулетку при отрицательных значениях. За это отвечают:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{eval\_population(population: list[list[int]], x\_min: float, x\_max: float, fitness\_func(x: float) -> float)} \\ \texttt{ -> (list[float], list[float])}
            \item Логика режима минимизации в \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Селекция (рулетка)}: вероятности нормируются после сдвига на минимальное
        значение в поколении (устойчиво к отрицательным фитнессам). Функция: 
        \texttt{reproduction(population: list[list[int]], fitnesses: list[float])} \\ \texttt{ -> list[list[int]]}.
        \item \textbf{Кроссинговер}: одноточечный, попарно по перемешанной популяции. При нечётном
        размере последняя особь скрещивается со случайной другой особью (возможно повторное участие в кроссинговере одной из особей). Пары скрещиваются с вероятностью \(p_c\), иначе родители добавляются в новую популяцию без изменений. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{crossover\_pair(p1: list[int], p2: list[int], pc: float) -> (list[int], list[int])}
            \item \texttt{crossover(population: list[list[int]], pc: float) -> list[list[int]]}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Мутация}: с вероятностью \(p_m\) \emph{на хромосому} инвертируется ровно один
        случайный бит. Функция:
        \texttt{mutation(chrom: list[int], pm: float) -> None}.

        \item \textbf{Критерий остановки}: поддержаны критерии по дисперсии значений фитнесс функции в популяции и по среднему значению (настраиваемые пороги), но для экспериментов в данной лабораторной работе используется только критерий по среднему значению. Хранится история лучших особей и всех
        популяций по поколениям. Проверка выполняется внутри функции:
        
        \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}
        (используются поля \texttt{variance\_threshold}, \texttt{fitness\_avg\_threshold} из \texttt{GARunConfig}).
        \item \textbf{Визуализация}: снимок поколения включает график целевой функции, точки всей
        текущей популяции, лучшую особь (выделена красным цветом), а также историю лучших по предыдущим
        поколениям (выделены оранжевым цветом). Функция: 
        \texttt{plot\_generation\_snapshot(... ) -> str}.
        \item \textbf{Измерение времени}: длительность вычислений возвращается в миллисекундах; для
        сравнения параметров в серии экспериментов введён единый формат вывода. Значение доступно как
        \texttt{GARunResult.time\_ms} из \\ \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}.
        \item \textbf{Файловая организация}: по желанию сохраняются изображения поколений в
        \texttt{results/}. Серии экспериментов пишут результаты иерархически: \texttt{experiments/\textit{N}/pc\_\textit{p}/pm\_\textit{m}/} с
        агрегированной таблицей в \texttt{CSV} на уровне популяции. Задействованные функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{clear\_results\_directory(results\_dir: str) -> None}
            \item \texttt{run\_single\_experiment(pop\_size: int, pc: float, pm: float) -> (float, int)}
            \item \texttt{run\_experiments\_for\_population(pop\_size: int) -> PrettyTable}
        \end{itemize}
    \end{itemize}

    В модуле \texttt{expirements.py} задаётся целевая функция (\texttt{target\_function(x: float) -> float} (\(\sin(x)/x^2\)) ) и другие параметры для экспериментов.
    Серийные запуски и сохранение результатов реализованы в функциях: 
    
    \begin{itemize}
        \item \texttt{run\_single\_experiment(pop\_size: int, pc: float, pm: float) -> (float, int)},
        \item \texttt{run\_experiments\_for\_population(pop\_size: int) -> PrettyTable},
        \item \texttt{main()}.
    \end{itemize}

    \newpage
    \section{Результаты работы}
    На Рис.~\ref{fig:gen1}--~\ref{fig:lastgen} представлены результаты работы генетического алгоритма со следующими параметрами:
    \begin{itemize}
        \item $N = 15$ -- размер популяции.
        \item $p_c = 0.5$ -- вероятность кроссинговера.
        \item $p_m = 0.01$ -- вероятность мутации.
        \item $-0.049$ -- минимальное среднее значение фитнесс функции по популяции для остановки алгоритма. Настоящий минимум функции равен примерно $-0.04957$.
    \end{itemize}

    С каждым поколением точность найденного максимума становится выше. На втором поколении популяция еще распределена по всей области поиска решения. На поколении 8 особи
    «конденсируются» вблизи нужного нам экстремума, а на поколении 14 достигается заданная точность нахождения минимума функции.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_000.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №1}
       \label{fig:gen1}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_001.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №2}
       \label{fig:gen2}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_002.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №3}
       \label{fig:gen3}
    \end{figure}


    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_003.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №4}
       \label{fig:gen4}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_005.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №6}
       \label{fig:gen6}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_007.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №8}
       \label{fig:gen8}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_010.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №11}
       \label{fig:gen11}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/generation_014.png}
       \caption{График целевой функции и популяции поколения №15}
       \label{fig:lastgen}
    \end{figure}


    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \phantom{text}
    
    \newpage
    \section{Исследование реализации}
    \subsection{Проведение измерений}
    В рамках лабораторной работы необходимо было исследовать зависимость времени выполнения задачи и количества поколений от популяции и вероятностей кроссинговера и мутации хромосомы

    Для исследования были выбраны следующие значения параметров:
    \begin{itemize}
        \item $N = 10, 25, 50, 100$ -- размер популяции.
        \item $p_c = 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8$ -- вероятность кроссинговера.
        \item $p_m = 0.001, 0.01, 0.05, 0.1, 0.2$ -- вероятность мутации.
    \end{itemize}

    Результаты измерений представлены в таблицах \ref{tab:pc_pm_results}--\ref{tab:pc_pm_results4}. В ячейках указано усредненное время в миллисекундах нахождения минимума функции. В скобках указано усредненное количество поколений, за которое было найдено решение. Каждый эксперимент запускался 30 раз. Если в ячейке стоит прочерк, то это означает, что решение не было найдено за 200 поколений. Лучшее значение по времени выполнения для каждого размера популяции выделено жирным шрифтом.

    \newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}

    \begin{table}[h!]
        \centering
        \small
        \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{5}{Y}}
        \toprule
        $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.001} & \textbf{0.010} & \textbf{0.050} & \textbf{0.100} & \textbf{0.200} \\
        \midrule
        \textbf{0.3} & 11.5 (167) & 8.4 (123) & 5.4 (78) & 4.9 (71) & 3.3 (48) \\
        \textbf{0.4} & 10.1 (144) & 7.1 (104) & 6.3 (92) & 4.7 (67) & 4.7 (67) \\
        \textbf{0.5} & 11.4 (168) & 7.7 (112) & 5.4 (79) & 6.1 (83) & \textbf{3.1 (44)} \\
        \textbf{0.6} & 11.0 (160) & 6.7 (97)  & 4.9 (70) & 4.7 (67) & 5.3 (74) \\
        \textbf{0.7} & 12.1 (174) & 9.3 (135) & 3.7 (52) & 4.7 (67) & 6.5 (92) \\
        \textbf{0.8} & 8.7 (126)  & 8.3 (119) & 3.9 (57) & 7.9 (113)& 4.4 (61) \\
        \bottomrule
        \end{tabularx}
        \caption{Результаты для $N = 10$}
        \label{tab:pc_pm_results}
    \end{table}
    
    \begin{table}[h!]
        \centering
        \small
        \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{5}{Y}}
        \toprule
        $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.001} & \textbf{0.010} & \textbf{0.050} & \textbf{0.100} & \textbf{0.200} \\
        \midrule
        \textbf{0.3} & 14.7 (111) & 8.2 (62)  & 4.9 (37) & 4.7 (35) & 8.7 (63) \\
        \textbf{0.4} & 12.8 (95)  & 7.3 (54)  & 4.7 (35) & 4.3 (32) & 8.2 (61) \\
        \textbf{0.5} & 10.5 (78)  & 5.4 (40)  & \textbf{2.2 (16)} & 5.5 (40) & 12.1 (89) \\
        \textbf{0.6} & 14.0 (103) & 6.5 (48)  & 3.4 (25) & 4.0 (30) & 14.0 (87) \\
        \textbf{0.7} & 11.5 (84)  & 6.2 (46)  & 3.0 (22) & 3.2 (24) & 11.6 (83) \\
        \textbf{0.8} & 9.2 (64)   & 5.8 (41)  & 2.5 (18) & 3.0 (22) & 11.2 (78) \\
        \bottomrule
        \end{tabularx}
        \caption{Результаты для $N = 25$}
        \label{tab:pc_pm_results2}
    \end{table}
    
    \begin{table}[h!]
        \centering
        \small
        \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{5}{Y}}
        \toprule
        $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.001} & \textbf{0.010} & \textbf{0.050} & \textbf{0.100} & \textbf{0.200} \\
        \midrule
        \textbf{0.3} & 6.1 (26)  & 5.2 (22) & 6.3 (26) & 11.6 (48) & 40.2 (147) \\
        \textbf{0.4} & 6.1 (26)  & 4.5 (19) & 5.2 (22) & 9.8 (40)  & 37.2 (149) \\
        \textbf{0.5} & 10.5 (44) & 4.9 (20) & 7.6 (28) & 17.1 (65) & 36.2 (144) \\
        \textbf{0.6} & 7.5 (31)  & \textbf{4.6 (19)} & 5.6 (23) & 18.8 (76) & 42.0 (158) \\
        \textbf{0.7} & 7.6 (31)  & 4.7 (20) & 7.6 (31) & 13.9 (55) & 34.3 (136) \\
        \textbf{0.8} & 10.8 (44) & 5.0 (21) & 6.1 (24) & 13.9 (56) & 36.5 (145) \\
        \bottomrule
        \end{tabularx}
        \caption{Результаты для $N = 50$}
        \label{tab:pc_pm_results3}
    \end{table}
    \begin{table}[h!]
        \centering
        \small
        \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{5}{Y}}
        \toprule
        $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.001} & \textbf{0.010} & \textbf{0.050} & \textbf{0.100} & \textbf{0.200} \\
        \midrule
        \textbf{0.3} & \textbf{7.6 (16)}  & 9.5 (21)  & 29.0 (60) & 62.9 (128) & -- \\
        \textbf{0.4} & 8.0 (17)  & 9.6 (21)  & 31.5 (68) & 56.6 (120) & --  \\
        \textbf{0.5} & 9.1 (20)  & 9.2 (20)  & 22.6 (48) & 59.4 (124) & --  \\
        \textbf{0.6} & 17.8 (38) & 12.3 (26) & 30.0 (64) & 61.1 (128) & 95.3 (196)  \\
        \textbf{0.7} & 10.0 (22) & 14.3 (31) & 30.3 (64) & 49.1 (103) & --  \\
        \textbf{0.8} & 16.4 (34) & 12.1 (25) & 31.4 (64) & 54.9 (114) & --  \\
        \bottomrule
        \end{tabularx}
        \caption{Результаты для $N = 100$}
        \label{tab:pc_pm_results4}
    \end{table}
        
    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \phantom{text}
    \subsection{Анализ результатов}
    
    Ключевые наблюдения:
    \begin{itemize}
        \item При небольших популяциях ($N=10$) повышение $p_m$ ускоряет поиск; наилучшее время при $p_c=0.5$, $p_m=0.2$ (3.1 мс, 44 пок.).
        \item Для $N=25$ оптимум при умеренной мутации $p_m\in[0.05,0.10]$; минимум времени при $p_c=0.5$, $p_m=0.05$ (2.2 мс, 16 пок.) — лучшее среди всех экспериментов.
        \item Для $N=50$ лучшее время при $p_c=0.6$, $p_m=0.01$ (4.6 мс, 19 пок.). Слишком большая мутация ($p_m=0.2$) резко ухудшает результаты.
        \item Для $N=100$ оптимальны низкие $p_m$; лучший результат при $p_c=0.3$, $p_m=0.001$ (7.6 мс, 16 пок.). При $p_m=0.2$ решение часто не находится за 200 поколений.
        \item Рост $N$ не гарантирует ускорения: число поколений может уменьшаться, но суммарное время часто растёт из-за большей стоимости одной итерации.
    \end{itemize}
    
    Практические выводы:
    \begin{itemize}
        \item Для умеренных затрат времени и стабильной сходимости разумно выбирать $N\approx25\text{--}50$, $p_c\approx0.5\text{--}0.6$, $p_m\approx0.01\text{--}0.05$.
        \item Оптимальное $p_m$ снижается с ростом $N$: при малых популяциях полезна более агрессивная мутация, при больших — слабая.
        \item Слишком большие значения $p_m$ и $p_c$ могут разрушать хорошие решения и ухудшать сходимость; стоит избегать $p_m\ge 0.2$ и высоких $p_c$ при больших $N$.
    \end{itemize}

    \newpage
    \section{Ответ на контрольный вопрос}

    \textbf{Вопрос}: Какую роль в ГА играет оператор репродукции (ОР)?

    \textbf{Ответ}: Оператор репродукции (ОР) в ГА играет роль селекции. Он выбирает наиболее приспособленных особей для дальнейшего участия в скрещивании и мутации. Это позволяет сохранить наиболее приспособленные особи и постепенно улучшить популяцию.
        

    \newpage
    \section*{Заключение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Заключение}

    В ходе первой лабораторной работы:

    \begin{enumerate}
        \item Был изучен теоретический материал, основная терминология ГА, генетические операторы,
        использующиеся в простых ГА;
        \item Реализована программа на языке Python для нахождения минимума заданной функции;
        \item Проведено исследование зависимости времени выполнения программы и поколения от мощности популяции и коэффициентов кроссинговера и мутации.
    \end{enumerate}

\newpage
\section*{Список литературы}
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}

\vspace{-1.5cm}
\begin{thebibliography}{0}
    \bibitem{vostrov}
    Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
\end{thebibliography}

\end{document}