\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}



% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Лабораторная работа №1}\\
        \large{по дисциплине}\\
        \large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
        \large{Вариант 18}\\
        
        % \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Большаков А. А. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    
    \tableofcontents

    \newpage
    \section {Постановка задачи}
    В данной работе были поставлены следующие задачи:

    \begin{itemize}
        \item Изучить теоретический материал;
        \item Ознакомиться с вариантами кодирования хромосомы;
        \item Рассмотреть способы выполнения операторов репродукции,
        кроссинговера и мутации;
        \item Выполнить индивидуальное задание на любом языке высокого
        уровня с необходимыми комментариями и выводами
    \end{itemize}

    \textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}

    \textbf{Дано:} Функция одной переменной $f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2}$; промежуток нахождения решения $x \in [3.1, 20.0]$.

    \vspace{0.3cm}
    \textbf{Требуется:}

    \begin{enumerate}
        \item Разработать простой генетический алгоритм для нахождения минимума данной функции в заданном промежутке;
        \item Исследовать зависимость времени поиска, числа поколений (генераций) и точности нахождения решения от числа особей в популяции и вероятности кроссинговера и мутации;
        \item Вывести на экран график функции с указанием найденного экстремума для каждого поколения;
        \item Сравнить найденное решение с действительным.
    \end{enumerate}

    \textbf{Ограничения:}
    \begin{enumerate}
        \item $ \min f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2} \approx -0.04957 $
        \item Точность решения составляет 3 знака после запятой.
    \end{enumerate}


    \newpage
    \section{Теоретические сведения}

    Генетиче ские алгоритмы (ГА) используют принципы и терминологию, заимствованные у биологической науки – генетики. В ГА каждая особь представляет потенциальное решение некоторой
    проблемы. В классическом ГА особь кодируется строкой двоичных символов – хромосомой, каждый
    бит которой называется геном. Множество особей – потенциальных решений составляет популяцию. Поиск (суб)оптимального решения проблемы выполняется в процессе эволюции популяции
    - последовательного преобразования одного конечного множества решений в другое с помощью
    генетических операторов репродукции, кроссинговера и мутации.

    Предварительно простой ГА случайным образом генерирует начальную популяцию стрингов
    (хромосом). Затем алгоритм генерирует следующее поколение (популяцию), с помощью трех основных генетических операторов:

    \begin{enumerate}
        \item Оператор репродукции (ОР);
        \item Оператор скрещивания (кроссинговера, ОК);
        \item Оператор мутации (ОМ).
    \end{enumerate}

    ГА работает до тех пор, пока не будет выполнено заданное количество поколений (итераций)
    процесса эволюции или на некоторой генерации будет получено заданное качество или вследствие
    преждевременной сходимости при попадании в некоторый локальный оптимум. На Рис.~\ref{fig:alg} представлен простой генетический алгоритм.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/alg.png}
       \caption{Простой генетический алгоритм.}
       \label{fig:alg}
    \end{figure}

    \newpage
    \subsection{Основная терминология в генетических алгоритмах}

    \textbf{Ген} -- элементарный код в хромосоме $s_i$, называемый также знаком или детектором 
    (в классическом ГА $s_i = 0, 1$).

    \textbf{Хромосома} -- упорядоченная последовательность генов в виде закодированной структуры 
    данных $S = (s_1, s_2, \ldots, s_n)$, определяющая решение (в простейшем случае двоичная 
    последовательность -- стринг, где $s_i = 0, 1$).

    \textbf{Локус} -- местоположение (позиция, номер бита) данного гена в хромосоме.

    \textbf{Аллель} -- значение, которое принимает данный ген (например, 0 или 1).

    \textbf{Особь} -- одно потенциальное решение задачи (представляемое хромосомой).

    \textbf{Популяция} -- множество особей (хромосом), представляющих потенциальные решения.

    \textbf{Поколение} -- текущая популяция ГА на данной итерации алгоритма.

    \textbf{Генотип} -- набор хромосом данной особи. В популяции могут использоваться как отдельные 
    хромосомы, так и целые генотипы.

    \textbf{Генофонд} -- множество всех возможных генотипов.

    \textbf{Фенотип} -- набор значений, соответствующий данному генотипу. Это декодированное множество 
    параметров задачи (например, десятичное значение $x$, соответствующее двоичному коду).

    \textbf{Размер популяции $N$} -- число особей в популяции.

    \textbf{Число поколений} -- количество итераций, в течение которых производится поиск.

    \textbf{Селекция} -- совокупность правил, определяющих выживание особей на основе значений целевой функции.

    \textbf{Эволюция популяции} -- чередование поколений, в которых хромосомы изменяют свои признаки, 
    чтобы каждая новая популяция лучше приспосабливалась к среде.

    \textbf{Фитнесс-функция} -- функция полезности, определяющая меру приспособленности особи. 
    В задачах оптимизации она совпадает с целевой функцией или описывает близость к оптимальному решению.

    \subsection{Генетические операторы}

    \subsubsection{Оператор репродукции}

    Репродукция -- процесс копирования хромосом в промежуточную популяцию для дальнейшего 
    ``размножения'' в соответствии со значениями фитнесс-функции. В данной работе рассматривается метод колеса рулетки. Каждой хромосоме соответствует сектор, пропорциональный значению фитнесс-функции. 
    Хромосомы с большим значением имеют больше шансов попасть в следующее поколение.

    \subsubsection{Оператор скрещивания (кроссинговера)}

    Одноточечный кроссинговер выполняется следующим образом:
    \begin{enumerate}
        \item Из промежуточной популяции выбираются две хромосомы (родители).
        \item Определяется случайная точка скрещивания $k \in [1, n-1]$, где $n$ -- длина хромосомы.
        \begin{figure}[h!]
           \centering
           \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/cross1.png}
           \label{fig:cross1}
        \end{figure}
        \item Две новые хромосомы (потомки) формируются путём обмена подстрок после точки $k$.
        \begin{figure}[h!]
           \centering
           \includegraphics[width=0.35\linewidth]{img/cross2.png}
           \label{fig:cross2}
        \end{figure}
    \end{enumerate}

    \subsubsection{Оператор мутации}

    Мутация применяется с малой вероятностью $P_M \approx 0.001$:
    \begin{enumerate}
        \item В хромосоме $A = a_1a_2 \ldots a_n$ выбирается случайная позиция $k$.
        \item Ген $a_k$ инвертируется: $a_k' = \lnot a_k$.
    \end{enumerate}

    

    \newpage
    \section*{Заключение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Заключение}

    В ходе первой лабораторной работы:

    \begin{enumerate}
        \item Был изучен теоретический материал, основная терминология ГА, генетические операторы,
        использующиеся в простых ГА;
        \item Реализована программа на языке Python для нахождения минимума заданной функции;
        \item Проведено исследование зависимости времени выполнения программы и поколения от мощности популяции и коэффициентов кроссинговера и мутации.
    \end{enumerate}

\newpage
\section*{Список литературы}
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}

\vspace{-1.5cm}
\begin{thebibliography}{0}
    \bibitem{vostrov}
    Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
\end{thebibliography}

\end{document}