\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}
\usepackage{xcolor}




% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Лабораторная работа №3}\\
        \large{по дисциплине}\\
        \large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
        \large{Вариант 18}\\
        
        % \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Большаков А. А. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    
    \tableofcontents

    \newpage
    \section {Постановка задачи}
    В данной работе были поставлены следующие задачи:

    \begin{itemize}
        \item Реализовать с использованием генетических алгоритмов решение задачи коммивояжера по индивидуальному заданию согласно номеру варианта.
        \item Сравнить найденное решение с представленным в условии задачи оптимальным решением.
        \item Представить графически найденное решение.
        \item Проанализировать время выполнения и точность нахождения результата в зависимости от вероятности различных видов кроссовера, мутации.
    \end{itemize}

    \textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}

    \textbf{Дано:} Эвклидовы координаты городов 38 городов в Джибути (см.~Приложение~А). Оптимальный тур представлен на Рис.~\ref{fig:optimal_tour}, его длина равна 6659.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/optimal_tour.png}
       \caption{Оптимальный тур для заданного набора данных}
       \label{fig:optimal_tour}
    \end{figure}

    \vspace{0.3cm}
    \textbf{Требуется:}

    \begin{enumerate}
        \item Реализовать с использованием генетических алгоритмов решение задачи коммивояжера. 
        \item Для туров использовать путевое представление.
    \end{enumerate}


    \newpage
    \section{Теоретические сведения}

    Генетические алгоритмы (ГА) используют принципы и терминологию, заимствованные у биологической науки – генетики. В ГА каждая особь представляет потенциальное решение некоторой
    проблемы. В классическом ГА особь кодируется строкой двоичных символов – хромосомой. Однако представление хромосомы зависит от постановки задачи: для непрерывных задач удобны векторы вещественных чисел (real-coded), тогда как для комбинаторных задач, таких как задача коммивояжера (ЗК), естественно представлять тур как перестановку городов. Длина хромосомы совпадает с числом элементов задачи; двоичное кодирование ЗК, как правило, неэффективно из‑за необходимости «ремонта» решений после применения операторов.

    Множество особей – потенциальных решений составляет популяцию. Поиск (суб)оптимального решения проблемы выполняется в процессе эволюции популяции - последовательного преобразования одного конечного множества решений в другое с помощью генетических операторов репродукции, кроссинговера и мутации.

    Предварительно простой ГА случайным образом генерирует начальную популяцию стрингов
    (хромосом). Затем алгоритм генерирует следующее поколение (популяцию), с помощью трех основных генетических операторов:

    \begin{enumerate}
        \item Оператор репродукции (ОР);
        \item Оператор скрещивания (кроссинговера, ОК);
        \item Оператор мутации (ОМ).
    \end{enumerate}

    ГА работает до тех пор, пока не будет выполнено заданное количество поколений (итераций)
    процесса эволюции или на некоторой генерации будет получено заданное качество или вследствие
    преждевременной сходимости при попадании в некоторый локальный оптимум. На Рис.~\ref{fig:alg} представлен простой генетический алгоритм.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/alg.png}
       \caption{Простой генетический алгоритм}
       \label{fig:alg}
    \end{figure}

    \newpage
    \subsection{Основная терминология в генетических алгоритмах}

    \textbf{Ген} -- элементарный код в хромосоме $s_i$, называемый также знаком или детектором 
    (в классическом ГА $s_i = 0, 1$).

    \textbf{Хромосома} -- упорядоченная последовательность генов в виде закодированной структуры 
    данных $S = (s_1, s_2, \ldots, s_n)$, определяющая решение. Представление зависит от типа задачи: для непрерывных задач — вектор вещественных чисел; для ЗК — перестановка городов (см. раздел о представлениях: соседское, порядковое и путевое).

    \textbf{Локус} -- местоположение (позиция, номер бита) данного гена в хромосоме.

    \textbf{Аллель} -- значение, которое принимает данный ген (например, 0 или 1).

    \textbf{Особь} -- одно потенциальное решение задачи (представляемое хромосомой).

    \textbf{Популяция} -- множество особей (хромосом), представляющих потенциальные решения.

    \textbf{Поколение} -- текущая популяция ГА на данной итерации алгоритма.

    \textbf{Генотип} -- набор хромосом данной особи. В популяции могут использоваться как отдельные 
    хромосомы, так и целые генотипы.

    \textbf{Генофонд} -- множество всех возможных генотипов.

    \textbf{Фенотип} -- набор значений, соответствующий данному генотипу. Это декодированное множество 
    параметров задачи (например, десятичное значение $x$, соответствующее двоичному коду).

    \textbf{Размер популяции $N$} -- число особей в популяции.

    \textbf{Число поколений} -- количество итераций, в течение которых производится поиск.

    \textbf{Селекция} -- совокупность правил, определяющих выживание особей на основе значений целевой функции.

    \textbf{Эволюция популяции} -- чередование поколений, в которых хромосомы изменяют свои признаки, 
    чтобы каждая новая популяция лучше приспосабливалась к среде.

    \textbf{Фитнесс-функция} -- функция полезности, определяющая меру приспособленности особи. 
    В задачах оптимизации она совпадает с целевой функцией или описывает близость к оптимальному решению.

    \subsection{Представления хромосом для задачи коммивояжера}

    Задача коммивояжера (ЗК) формулируется так: требуется посетить каждый из $N$ городов ровно один раз и вернуться в исходную точку, минимизируя суммарную стоимость (или длину) тура. Естественным является представление тура как перестановки городов. На практике используются три основных представления, каждое со своими операторами рекомбинации:

    \subsubsection{Представление соседства}

    Тур задаётся списком из $N$ городов, где в позиции $i$ указан город $j$, означающий переход из города $i$ в город $j$. Например, вектор $(2\;4\;8\;3\;9\;7\;1\;5\;6)$ соответствует туру $1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!3\!\to\!8\!\to\!5\!\to\!9\!\to\!6\!\to\!7$. У каждого корректного тура есть единственное соседское представление, однако не всякая строка в этом представлении корректна (возможны преждевременные циклы, например $1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!1\ldots$).

    \subsubsection{Порядковое представление}

    Тур представляется списком из $N$ позиций; $i$-й элемент равен индексу города в текущем упорядоченном списке доступных городов. Например, при опорном списке $C=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)$ тур $1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!3\!\to\!8\!\to\!5\!\to\!9\!\to\!6\!\to\!7$ кодируется как $l=(1\;1\;2\;1\;4\;1\;3\;1\;1)$, последовательно «выбирая» элементы из $C$.

    \subsubsection{Путевое представление}

    Наиболее интуитивное представление: тур записывается как последовательность городов, например $5\!\to\!1\!\to\!7\!\to\!8\!\to\!9\!\to\!4\!\to\!6\!\to\!2\!\to\!3$ кодируется как $(5\;1\;7\;8\;9\;4\;6\;2\;3)$. Это представление сохраняет относительный порядок городов и широко применяется на практике.

    \subsection{Кроссинговеры для представлений ЗК}

    Операторы рекомбинации должны сохранять допустимость туров (перестановочную природу решения). Для разных представлений используются различные кроссинговеры.

    \subsubsection{Кроссинговеры для представления соседства}

    \textbf{Alternating Edges (обмен рёбрами):} потомок строится, поочерёдно выбирая ребра у родителей: одно ребро у первого родителя, следующее — у второго, затем снова у первого и т.д. Если выбранное ребро замыкает цикл преждевременно, выбирается другое ещё не использованное ребро того же родителя, не образующее цикл.

    \textbf{Subtour Chunks (обмен подтурами):} потомок формируется конкатенацией кусочков (подтуров), поочерёдно взятых у родителей. При образовании преждевременного цикла производится «ремонт» аналогично предыдущему оператору.

    \textbf{Heuristic Crossover (эвристический):} стартуя из случайного города, на каждом шаге сравниваются два инцидентных ребра, предлагаемых родителями, и выбирается более короткое; если возникает цикл или ребро уже использовано, выбирается случайный ещё не посещённый город. Оператор нацелен на сохранение коротких рёбер, но может иметь нестабильную производительность.

    \subsubsection{Кроссинговеры для порядкового представления}

    Для порядкового представления корректность потомков обеспечивает классический одноточечный кроссовер: любые два родителя, разрезанные в одной позиции и склеенные, порождают допустимых потомков (поскольку выбор «по индексу» в оставшемся списке городов остаётся корректным).

    \subsubsection{Кроссинговеры для путевого представления}

    Для путевого представления широко применяются три оператора, гарантирующие корректную перестановку у потомков.

    \paragraph{PMX (Partially Mapped Crossover).}
    Идея: обменять подпоследовательности между родителями и построить отображение соответствий, которым затем разрешать конфликты (дубликаты).
    
    \textit{Пример.} Пусть точки разреза задают сегмент позиций $4\dots7$:
    $$
    p_1=(1\;2\;3\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;8\;9),\quad
    p_2=(4\;5\;2\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;9\;3).
    $$
    1) Копируем сегмент второго родителя в потомка $o_1$ и формируем отображение $\{4\leftrightarrow1,\;5\leftrightarrow8,\;6\leftrightarrow7,\;7\leftrightarrow6\}$:
    $$o_1=(\_\;\_\;\_\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;\_\;\_).$$
    2) Заполняем прочие позиции по порядку из $p_1$, применяя отображение при конфликтах: $1\mapsto4$, $8\mapsto5$.
    $$o_1=(4\;2\;3\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;5\;9).$$
    Аналогично для $o_2$ (копируем сегмент из $p_1$, заполняем остальное из $p_2$):
    $$o_2=(1\;8\;2\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;9\;3).$$
    PMX сохраняет как позиции части элементов, так и относительный порядок/соответствия на остальной части хромосомы.

    \paragraph{OX (Order Crossover).}
    Идея: скопировать сегмент одного родителя и дозаполнить оставшиеся позиции элементами второго родителя в их порядке появления (пропуская уже скопированные).

    \textit{Пример.} С теми же родителями и разрезами $4\dots7$:
    $$
    p_1=(1\;2\;3\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;8\;9),\quad
    p_2=(4\;5\;2\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;9\;3).
    $$
    1) Копируем сегмент $p_1$ в $o_1$:
    $$o_1=(\_\;\_\;\_\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;\_\;\_).$$
    2) Обходя $p_2$ с позиции после правого разреза, дозаполняем: получаем
    $$o_1=(2\;1\;8\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;9\;3).$$
    Симметрично для $o_2$ (копируем сегмент из $p_2$ и дозаполняем порядком из $p_1$):
    $$o_2=(3\;4\;5\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;9\;2).$$
    Оператор OX сохраняет относительный порядок городов; циклический сдвиг тура несущественен.

    \paragraph{CX (Cycle Crossover).}
    Идея: находить циклы позиций, индуцированные взаимным расположением значений у родителей, и наследовать циклы по очереди из разных родителей.

    \textit{Пример.} Возьмём
    $$
    p_1=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9),\quad
    p_2=(4\;5\;2\;1\;8\;7\;6\;9\;3).
    $$
    Построив циклы позиций, получим допустимых потомков, например:
    $$o_1=(1\;2\;3\;4\;7\;6\;9\;8\;5),\quad o_2=(4\;1\;2\;8\;5\;6\;7\;3\;9).$$
    CX сохраняет абсолютные позиции части элементов и способствует передаче «циклами» взаимных расположений.

    Отметим, что путевое представление акцентирует порядок городов (а не стартовый город), поэтому туры, отличающиеся циклическим сдвигом, эквивалентны.

    \subsection{Мутации для путевого представления}

    Операторы мутации в ГА для задачи коммивояжёра должны сохранять допустимость решения (перестановочную структуру). Для путевого представления применяются специализированные операторы, которые модифицируют порядок городов, не нарушая корректности тура.

    \paragraph{Swap (обмен двух элементов).}

    Идея: выбрать случайным образом две позиции в маршруте и обменять находящиеся на них города местами.
    
    \textit{Пример.} Пусть исходный тур:
    $$
    t=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9).
    $$
    Выбираем позиции $i=2$ и $j=6$ (элементы $3$ и $7$). После обмена получаем:
    $$
    t'=(1\;2\;7\;4\;5\;6\;3\;8\;9).
    $$
    Оператор swap обеспечивает локальную модификацию тура, изменяя положение только двух городов.

    \paragraph{Inversion (инверсия сегмента).}

    Идея: выбрать случайный сегмент маршрута и обратить порядок городов внутри него.
    
    \textit{Пример.} Для того же тура выбираем позиции разреза $i=3$ и $j=7$ (сегмент $4\;5\;6\;7$):
    $$
    t=(1\;2\;3\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;8\;9).
    $$
    Инвертируем выделенный сегмент:
    $$
    t'=(1\;2\;3\;|\;7\;6\;5\;4\;|\;8\;9).
    $$
    Инверсия сохраняет связность частей маршрута, меняя направление обхода в подтуре. Этот оператор особенно эффективен при наличии пересечений рёбер, так как инверсия может «распутать» некоторые из них и улучшить длину маршрута.

    \paragraph{Insertion (вырезка и вставка).}
    
    Идея: выбрать случайный город, удалить его из текущей позиции и вставить в другую случайную позицию маршрута.
    
    \textit{Пример.} Пусть исходный тур:
    $$
    t=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9).
    $$
    Выбираем город на позиции $i=3$ (элемент $4$) и целевую позицию $j=7$. Удаляем элемент $4$:
    $$
    t_{\text{tmp}}=(1\;2\;3\;5\;6\;7\;8\;9).
    $$
    Вставляем $4$ на позицию $7$:
    $$
    t'=(1\;2\;3\;5\;6\;7\;4\;8\;9).
    $$
    insertion изменяет расположение одного города относительно других, смещая соседей.

    Все три оператора гарантируют сохранение корректной перестановки: каждый город остаётся в туре ровно один раз.

    \newpage
    \section{Особенности реализации}
    В рамках работы создана мини-библиотека \texttt{gen.py} для решения задачи коммивояжёра (TSP) генетическим алгоритмом с путевым представлением хромосом. Второй модуль
    \texttt{expirements.py} организует серийные эксперименты (перебор параметров,
    форматирование и сохранение результатов).

    \begin{itemize}
        \item \textbf{Кодирование особей}: каждая хромосома представлена как перестановка городов (\texttt{Chromosome = list[int]}), где каждый элемент -- индекс города. Популяция -- список хромосом (\texttt{Population = list[Chromosome]}). Инициализация случайными перестановками без повторений:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{initialize\_random\_population(pop\_size: int, cities: Cites) -> Population}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Фитнесс-функция}: целевая функция принимает хромосому (маршрут) и возвращает скалярное значение фитнесса (длину пути). Для режима минимизации используется внутреннее преобразование при селекции (сдвиг и инверсия знака), что позволяет применять рулетку:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{eval\_population(population: Population, fitness\_func: FitnessFn) -> Fitnesses}
            \item Логика режима минимизации в \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Селекция (рулетка)}: вероятности нормируются после сдвига на минимальное значение в поколении (устойчиво к отрицательным фитнессам). Функция:
        \texttt{reproduction(population: Population, fitnesses: Fitnesses) -> Population}.
        \item \textbf{Кроссинговер}: реализованы специализированные операторы для перестановок: PMX (Partially Mapped Crossover), OX (Ordered Crossover) и CX (Cycle Crossover). Кроссинговер выполняется попарно по перемешанной популяции с вероятностью $p_c$. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{partially\_mapped\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
            \item \texttt{ordered\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
            \item \texttt{cycle\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
            \item \texttt{crossover(population: Population, pc: float, crossover\_fn: CrossoverFn) -> Population}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Мутация}: реализованы три типа мутаций для перестановок: обмен двух городов (swap), инверсия сегмента (inversion), вырезка и вставка города (insertion). Мутация применяется с вероятностью $p_m$. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{swap\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
            \item \texttt{inversion\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
            \item \texttt{insertion\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
            \item \texttt{mutation(population: Population, pm: float, mutation\_fn: MutationFn) -> Population}
        \end{itemize}

        \item \textbf{Критерий остановки}: поддерживаются критерии по максимальному количеству поколений, повторению лучшего результата, достижению порогового значения фитнесса. Хранится история всех поколений. Проверка выполняется в функции:
        
        \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}.
        \item \textbf{Визуализация}: реализована отрисовка маршрутов обхода городов на плоскости с отображением лучшей особи поколения. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{plot\_tour(cities: list[tuple[float, float]], tour: list[int], ax: Axes)}
            \item \texttt{save\_generation(generation: Generation, history: list[Generation], config: GARunConfig)}
            \item \texttt{plot\_fitness\_history(result: GARunResult, save\_path: str | None) -> None}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Элитизм}: поддерживается перенос лучших особей без изменения в следующее поколение (\texttt{elitism} параметр).
        \item \textbf{Измерение времени}: длительность вычислений возвращается в миллисекундах как часть \texttt{GARunResult.time\_ms}.
        \item \textbf{Файловая организация}: результаты экспериментов сохраняются в структуре \texttt{experiments/N/} с таблицами результатов. Задействованные функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{clear\_results\_directory(results\_dir: str) -> None}
            \item Функции для проведения экспериментов в модуле \texttt{expirements.py}
        \end{itemize}
    \end{itemize}

    В модуле \texttt{expirements.py} задаются координаты городов и параметры экспериментов.
    Серийные запуски и сохранение результатов реализованы для исследования влияния параметров ГА на качество решения задачи коммивояжёра.

    \newpage
    \section{Результаты работы}

    На Рис.~\ref{fig:gen1}--\ref{fig:lastgen} представлены результаты работы генетического алгоритма со следующими параметрами:
    \begin{itemize}
        \item $N = 500$ -- размер популяции.
        \item $p_c = 0.9$ -- вероятность кроссинговера.
        \item $p_m = 0.3$ -- вероятность мутации.
        \item $2500$ -- максимальное количество поколений.
        \item $3$ -- количество "элитных" особей, переносимых без изменения в следующее поколение.
        \item Partially mapped crossover - кроссовер.
        \item Inversion mutation - мутация
    \end{itemize}

    На Рис.~\ref{fig:fitness_history} показан график изменения фитнесса по поколениям. Видно, что алгоритм постепенно сходится к минимально возможному значению фитнеса. Лучший маршрут был найден на поколнении №1896 (см. Рис.~\ref{fig:lastgen}).

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/fitness_history.png}
       \caption{График изменения фитнесса по поколениям}
       \label{fig:fitness_history}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_001.png}
       \caption{Лучший маршрут поколения №1}
       \label{fig:gen1}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_005.png}
       \caption{Лучший маршрут поколения №5}
       \label{fig:gen5}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_050.png}
       \caption{Лучший маршрут поколения №50}
       \label{fig:gen50}
    \end{figure}


    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_100.png}
       \caption{Лучший маршрут поколения №100}
       \label{fig:gen100}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_300.png}
       \caption{Лучший маршрут поколения №300}
       \label{fig:gen300}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_500.png}
       \caption{Лучший маршрут поколения №500}
       \label{fig:gen500}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_900.png}
       \caption{Лучший маршрут поколения №900}
       \label{fig:gen900}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/best_generation_1896.png}
       \caption{Лучший маршрут поколения №1896}
       \label{fig:lastgen}
    \end{figure}


    \newpage
    \phantom{text}
    
    \newpage
    \section{Исследование реализации}
    \subsection{Проведение измерений}
    В рамках лабораторной работы необходимо было исследовать зависимость времени выполнения задачи и количества поколений от популяции и вероятностей кроссинговера и мутации хромосомы

    Для исследования были выбраны следующие значения параметров:
    \begin{itemize}
        \item $N = 10, 50, 100, 500$ -- размер популяции.
        \item $p_c = 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9$ -- вероятность кроссинговера.
        \item $p_m = 0.05, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.8$ -- вероятность мутации.
        \item $3$ -- количество "элитных" особей, переносимых без изменения в следующее поколение.
        \item Partially mapped crossover - кроссовер.
        \item Inversion mutation - мутация
        \item 7000 - пороговое значение фитнеса для остановки алгоритма.
    \end{itemize}

    Результаты измерений представлены в таблицах \ref{tab:pc_pm_results_10}--\ref{tab:pc_pm_results_500}. В ячейках указано время в миллисекундах нахождения минимума функции. В скобках указано количество поколений, за которое было найдено решение. Во второй строке указано усреднённое по всем запускам лучшее значение фитнеса. Если в ячейке стоит прочерк, то это означает, что решение не было найдено за 2500 поколений. Лучшее значение по времени выполнения и по значению фитнеса для каждого размера популяции выделено цветом и жирным шрифтом.

    \newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
% Автоматически сгенерированные LaTeX таблицы
% Лучший результат по времени и по фитнесу выделены жирным отдельно
% Убедитесь, что подключен \usepackage{tabularx}
% ВНИМАНИЕ: Убедитесь, что подключен \usepackage{xcolor} для цветового выделения
% Используйте \newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X} перед таблицами

\begin{table}[h!]
    \centering
    \small
    \caption{Результаты для $N = 10$}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{6}{Y}}
    \toprule
    $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.050} & \textbf{0.200} & \textbf{0.300} & \textbf{0.400} & \textbf{0.500} & \textbf{0.800} \\
    \midrule
    \textbf{0.5} & — & — & 674.4 (1783) 6943.28027 & 715.1 (1856) 6925.47290 & — & 225.5 (567) 6984.75016 \\
    \textbf{0.6} & — & — & 550.6 (1427) 6899.82219 & 649.4 (1653) 6897.01699 & — & — \\
    \textbf{0.7} & — & — & 476.7 (1216) 6796.98342 & 287.4 (724) 6977.43028 & \textcolor{magenta}{\textbf{201.0 (503)}} 6794.32839 & — \\
    \textbf{0.8} & — & — & — & 767.2 (1852) 6810.96744 & 253.3 (623) 6905.36866 & — \\
    \textbf{0.9} & — & — & — & — & — & — \\
    \textbf{1.0} & — & 750.9 (1847) 6988.52746 & 415.7 (1016) 6897.99266 & 465.7 (1126) \textcolor{magenta}{\textbf{6762.96572}} & 275.9 (662) 6997.70453 & — \\
    \bottomrule
    \end{tabularx}
    \label{tab:pc_pm_results_10}
\end{table}


\begin{table}[h!]
    \centering
    \small
    \caption{Результаты для $N = 50$}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{6}{Y}}
    \toprule
    $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.050} & \textbf{0.200} & \textbf{0.300} & \textbf{0.400} & \textbf{0.500} & \textbf{0.800} \\
    \midrule
    \textbf{0.5} & 1711.4 (1083) 6927.73356 & — & 1642.7 (1015) 6894.10066 & 1355.6 (809) 6938.12550 & — & 936.3 (544) 6925.57274 \\
    \textbf{0.6} & 1338.4 (828) 6952.02461 & 889.1 (552) 6951.40489 & 1142.5 (687) 6963.17379 & 1446.9 (864) 6992.95281 & — & 2646.2 (1509) 6932.85788 \\
    \textbf{0.7} & 1860.8 (1146) 6996.63686 & — & 2387.8 (1378) 6999.00110 & — & \textcolor{magenta}{\textbf{809.9 (474)}} 6965.83938 & 1614.7 (918) 6990.50067 \\
    \textbf{0.8} & — & — & 1244.4 (713) \textcolor{magenta}{\textbf{6704.60011}} & 1500.5 (859) 6970.42362 & 1013.5 (581) 6998.68282 & — \\
    \textbf{0.9} & — & — & — & — & — & — \\
    \textbf{1.0} & — & 891.6 (503) 6952.80522 & — & — & 1489.6 (824) 6735.40661 & 3685.9 (1978) 6989.21247 \\
    \bottomrule
    \end{tabularx}
    \label{tab:pc_pm_results_50}
\end{table}


\begin{table}[h!]
    \centering
    \small
    \caption{Результаты для $N = 100$}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{6}{Y}}
    \toprule
    $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.050} & \textbf{0.200} & \textbf{0.300} & \textbf{0.400} & \textbf{0.500} & \textbf{0.800} \\
    \midrule
    \textbf{0.5} & 1342.3 (441) 6988.26353 & 1467.7 (459) 6958.81642 & 4041.3 (1269) \textcolor{magenta}{\textbf{6839.94363}} & — & — & 3635.1 (1046) 6966.14098 \\
    \textbf{0.6} & 2460.6 (763) 6872.20321 & \textcolor{magenta}{\textbf{1316.5 (409)}} 6861.65860 & — & 2310.7 (691) 6912.50054 & 2220.9 (663) 6907.57533 & — \\
    \textbf{0.7} & — & 1934.1 (591) 6933.87982 & — & 1966.0 (587) 6943.09435 & 2872.9 (840) 6998.39699 & — \\
    \textbf{0.8} & 3227.9 (969) 6990.28735 & 1754.4 (523) 6996.67018 & — & 2152.8 (621) 6988.30495 & 8057.2 (2236) 6899.21400 & — \\
    \textbf{0.9} & — & — & 3794.4 (1079) 6963.79199 & 2549.3 (721) 6975.22091 & 4469.6 (1249) 6945.46938 & 8919.4 (2375) 6858.03529 \\
    \textbf{1.0} & 4164.4 (1215) 6927.53288 & — & — & — & 3618.7 (1019) 6898.56773 & — \\
    \bottomrule
    \end{tabularx}
    \label{tab:pc_pm_results_100}
\end{table}


\begin{table}[h!]
    \centering
    \small
    \caption{Результаты для $N = 500$}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{l *{6}{Y}}
    \toprule
    $\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.050} & \textbf{0.200} & \textbf{0.300} & \textbf{0.400} & \textbf{0.500} & \textbf{0.800} \\
    \midrule
    \textbf{0.5} & 11709.8 (782) 6994.15844 & \textcolor{magenta}{\textbf{5232.3 (341)}} 6957.38204 & 10676.9 (674) 6980.66167 & 6849.7 (430) 6782.99526 & — & 13051.6 (775) 6880.72481 \\
    \textbf{0.6} & 7193.3 (461) 6960.64487 & — & — & 14856.5 (866) 6941.77959 & 12944.9 (776) 6958.57319 & 19051.6 (1102) 6951.30787 \\
    \textbf{0.7} & 18611.7 (1150) 6810.96744 & 23286.9 (1413) 6895.65139 & — & 14141.6 (830) 6976.37927 & — & — \\
    \textbf{0.8} & 25456.0 (1556) 6962.40902 & — & 20592.3 (1223) 6998.71555 & — & — & 38979.2 (2097) 6842.54074 \\
    \textbf{0.9} & 14260.1 (825) 6967.60134 & 26692.6 (1551) 6922.32909 & — & — & 29235.4 (1644) \textcolor{magenta}{\textbf{6667.02991}} & 41352.0 (2252) 6765.87009 \\
    \textbf{1.0} & 34026.1 (1996) 6953.24255 & — & — & — & — & — \\
    \bottomrule
    \end{tabularx}
    \label{tab:pc_pm_results_500}
\end{table}



        
    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \phantom{text}
    \newpage
    \phantom{text}
    \subsection{Анализ результатов}

    Наилучшее найденное решение составило \textbf{6667.03} при параметрах $N=500$, $P_c=0.9$, $P_m=0.5$ за 1644 поколения. Это всего на \textbf{0.12\%} хуже оптимального значения 6659, что демонстрирует высокую эффективность алгоритма. Наихудшие результаты показала конфигурация с $N=10$, $P_c=0.7$, $P_m=0.3$ (лучший фитнес 6796.98), что на 2.07\% хуже оптимума. Малый размер популяции в 10 особей оказался недостаточным для стабильного поиска качественных решений — более половины конфигураций при $N=10$ вообще не нашли решение за 2500 поколений.

    Наиболее быстрая конфигурация — $N=10$, $P_c=0.7$, $P_m=0.5$ — нашла решение за \textbf{201 мс} (503 поколения). Однако качество решения при таких параметрах нестабильно. Среди конфигураций с большой популяцией лучшее время показала $N=500$, $P_c=0.5$, $P_m=0.2$ — \textbf{5232 мс} (341 поколение), что является оптимальным балансом скорости и качества для больших популяций.

    С ростом размера популяции наблюдается явное улучшение качества решений: при $N=10$ лучший результат 6762.97, при $N=500$ — 6667.03. Одновременно количество необходимых поколений снижается (с 503 до 341), но общее время выполнения растет линейно из-за увеличения числа особей в каждом поколении. Этот эффект объясняется тем, что большая популяция обеспечивает большее генетическое разнообразие, позволяя алгоритму быстрее находить оптимальные решения.

    Что касается вероятности кроссовера, средние значения $P_c=0.6$--$0.8$ показывают стабильные результаты для всех размеров популяций. Экстремальные значения ($P_c=0.9$ или $1.0$) работают хорошо только при больших популяциях ($N \geq 100$), при малых — часто приводят к преждевременной сходимости (наблюдается много прочерков в таблицах). Это связано с тем, что высокая вероятность кроссовера при малой популяции быстро приводит к гомогенизации генофонда.

    Анализ влияния вероятности мутации показал, что низкие значения $P_m=0.05$ неэффективны для малых популяций — недостаточно разнообразия для выхода из локальных минимумов. Умеренные значения $P_m=0.2$--$0.5$ демонстрируют лучшие результаты, обеспечивая баланс между эксплуатацией найденных решений и исследованием нового пространства поиска. Высокое значение $P_m=0.8$ часто приводит к расхождению алгоритма, так как слишком сильные изменения разрушают хорошие решения быстрее, чем алгоритм успевает их найти (многие конфигурации не нашли решение за отведенное время).

    
    \newpage
    \section{Ответ на контрольный вопрос}

    \textbf{Вопрос}: Тур в порядковом представлении, используемые кроссинговеры.

    \textbf{Ответ}: Тур представляется списком из $N$ позиций; $i$-й элемент равен индексу города в текущем упорядоченном списке доступных городов. Например, при опорном списке $C=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)$ тур $1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!3\!\to\!8\!\to\!5\!\to\!9\!\to\!6\!\to\!7$ кодируется как $l=(1\;1\;2\;1\;4\;1\;3\;1\;1)$, последовательно «выбирая» элементы из $C$.

    Для порядкового представления корректность потомков обеспечивает классический одноточечный кроссовер: любые два родителя, разрезанные в одной позиции и склеенные, порождают допустимых потомков (поскольку выбор «по индексу» в оставшемся списке городов остаётся корректным).
        

    \newpage
    \section*{Заключение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Заключение}

    В ходе третьей лабораторной работы была успешно решена задача коммивояжера с использованием генетических алгоритмов для 38 городов Джибути:

    \begin{enumerate}
        \item Изучен теоретический материал о представлениях туров (соседское, порядковое, путевое) и специализированных операторах кроссинговера и мутации для задачи коммивояжера;
        \item Создана программная библиотека на языке Python с реализацией путевого представления хромосом, операторов PMX, OX и CX для кроссинговера, операторов swap, inversion и insertion для мутации, а также селекции методом рулетки с поддержкой элитизма;
        \item Проведено исследование влияния параметров генетического алгоритма на качество и скорость нахождения решения для популяций размером 10, 50, 100 и 500 особей с различными значениями вероятностей кроссинговера и мутации;
        \item Получено решение с длиной маршрута 6667.03, отклоняющееся от оптимального значения 6659 всего на 0.12\%.
    \end{enumerate}


\newpage
\section*{Список литературы}
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}

\vspace{-1.5cm}
\begin{thebibliography}{0}
    \bibitem{vostrov}
    Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
\end{thebibliography}

\end{document}