\documentclass[a4paper, final]{article} %\usepackage{literat} % Нормальные шрифты \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта \usepackage{tabularx} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry} \usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине \usepackage{setspace} %для межстрочно го интервала \usepackage{moreverb} %для работы с листингами \usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа \usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ \usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов \usepackage{tikz} \usepackage{graphicx} \usepackage{afterpage} \usepackage{longtable} \usepackage{float} % \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea} \usepackage{pdflscape} % \usepackage{lscape} \usepackage{array} \usepackage{multirow} \renewcommand\verbatimtabsize{4\relax} \renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге \renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице \usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы \usepackage{listings} %листинги \usepackage{xcolor} % цвета \usepackage{hyperref}% для гиперссылок \usepackage{enumitem} %для перечислений \newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}} \setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях \hypersetup{colorlinks, allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные) % подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов) \lstloadlanguages{ SQL} % включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции \lstset{tabsize=2, breaklines, basicstyle=\footnotesize, columns=fullflexible, flexiblecolumns, numbers=left, numberstyle={\footnotesize}, keywordstyle=\color{blue}, inputencoding=cp1251, extendedchars=true } \lstdefinelanguage{MyC}{ language=SQL, % ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries, % identifierstyle=\color{black}, % morecomment=[n]{/**}{*/}, % commentstyle=\color{blue}\ttfamily, % stringstyle=\color{red}\ttfamily, % morestring=[b]", % showstringspaces=false, % morecomment=[l][\color{gray}]{//}, keepspaces=true, escapechar=\%, texcl=true } \textheight=24cm % высота текста \textwidth=16cm % ширина текста \oddsidemargin=0pt % отступ от левого края \topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края \parindent=24pt % абзацный отступ \parskip=5pt % интервал между абзацами \tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам \flushbottom % выравнивание высоты страниц % Настройка листингов \lstset{ language=python, extendedchars=\true, inputencoding=utf8, keepspaces=true, % captionpos=b, % подписи листингов снизу } \begin{document} % начало документа % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА \begin{center} \hfill \break \hfill \break \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]} \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\ \hfill \break \hfill \break \hfill \break \hfill \break \large{Лабораторная работа №1}\\ \large{по дисциплине}\\ \large{<<Генетические алгоритмы>>}\\ \large{Вариант 18}\\ % \hfill \break \hfill \break \end{center} \small{ \begin{tabular}{lrrl} \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\ \!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\ \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} & Большаков А. А. \\\\ &&\hspace{4cm} \end{tabular} \begin{flushright} <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г. \end{flushright} } \hfill \break % \hfill \break \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center} \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА \newpage \tableofcontents \newpage \section {Постановка задачи} В данной работе были поставлены следующие задачи: \begin{itemize} \item Изучить теоретический материал; \item Ознакомиться с вариантами кодирования хромосомы; \item Рассмотреть способы выполнения операторов репродукции, кроссинговера и мутации; \item Выполнить индивидуальное задание на любом языке высокого уровня с необходимыми комментариями и выводами \end{itemize} \textbf{Индивидуальное задание вариант 18:} \textbf{Дано:} Функция одной переменной $f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2}$; промежуток нахождения решения $x \in [3.1, 20.0]$. \vspace{0.3cm} \textbf{Требуется:} \begin{enumerate} \item Разработать простой генетический алгоритм для нахождения минимума данной функции в заданном промежутке; \item Исследовать зависимость времени поиска, числа поколений (генераций) и точности нахождения решения от числа особей в популяции и вероятности кроссинговера и мутации; \item Вывести на экран график функции с указанием найденного экстремума для каждого поколения; \item Сравнить найденное решение с действительным. \end{enumerate} \textbf{Ограничения:} \begin{enumerate} \item $ \min f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2} \approx -0.04957 $ \item Точность решения составляет 3 знака после запятой. \end{enumerate} \newpage \section{Теоретические сведения} Генетиче ские алгоритмы (ГА) используют принципы и терминологию, заимствованные у биологической науки – генетики. В ГА каждая особь представляет потенциальное решение некоторой проблемы. В классическом ГА особь кодируется строкой двоичных символов – хромосомой, каждый бит которой называется геном. Множество особей – потенциальных решений составляет популяцию. Поиск (суб)оптимального решения проблемы выполняется в процессе эволюции популяции - последовательного преобразования одного конечного множества решений в другое с помощью генетических операторов репродукции, кроссинговера и мутации. Предварительно простой ГА случайным образом генерирует начальную популяцию стрингов (хромосом). Затем алгоритм генерирует следующее поколение (популяцию), с помощью трех основных генетических операторов: \begin{enumerate} \item Оператор репродукции (ОР); \item Оператор скрещивания (кроссинговера, ОК); \item Оператор мутации (ОМ). \end{enumerate} ГА работает до тех пор, пока не будет выполнено заданное количество поколений (итераций) процесса эволюции или на некоторой генерации будет получено заданное качество или вследствие преждевременной сходимости при попадании в некоторый локальный оптимум. На Рис.~\ref{fig:alg} представлен простой генетический алгоритм. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/alg.png} \caption{Простой генетический алгоритм.} \label{fig:alg} \end{figure} \newpage \subsection{Основная терминология в генетических алгоритмах} \textbf{Ген} -- элементарный код в хромосоме $s_i$, называемый также знаком или детектором (в классическом ГА $s_i = 0, 1$). \textbf{Хромосома} -- упорядоченная последовательность генов в виде закодированной структуры данных $S = (s_1, s_2, \ldots, s_n)$, определяющая решение (в простейшем случае двоичная последовательность -- стринг, где $s_i = 0, 1$). \textbf{Локус} -- местоположение (позиция, номер бита) данного гена в хромосоме. \textbf{Аллель} -- значение, которое принимает данный ген (например, 0 или 1). \textbf{Особь} -- одно потенциальное решение задачи (представляемое хромосомой). \textbf{Популяция} -- множество особей (хромосом), представляющих потенциальные решения. \textbf{Поколение} -- текущая популяция ГА на данной итерации алгоритма. \textbf{Генотип} -- набор хромосом данной особи. В популяции могут использоваться как отдельные хромосомы, так и целые генотипы. \textbf{Генофонд} -- множество всех возможных генотипов. \textbf{Фенотип} -- набор значений, соответствующий данному генотипу. Это декодированное множество параметров задачи (например, десятичное значение $x$, соответствующее двоичному коду). \textbf{Размер популяции $N$} -- число особей в популяции. \textbf{Число поколений} -- количество итераций, в течение которых производится поиск. \textbf{Селекция} -- совокупность правил, определяющих выживание особей на основе значений целевой функции. \textbf{Эволюция популяции} -- чередование поколений, в которых хромосомы изменяют свои признаки, чтобы каждая новая популяция лучше приспосабливалась к среде. \textbf{Фитнесс-функция} -- функция полезности, определяющая меру приспособленности особи. В задачах оптимизации она совпадает с целевой функцией или описывает близость к оптимальному решению. \subsection{Генетические операторы} \subsubsection{Оператор репродукции} Репродукция -- процесс копирования хромосом в промежуточную популяцию для дальнейшего ``размножения'' в соответствии со значениями фитнесс-функции. В данной работе рассматривается метод колеса рулетки. Каждой хромосоме соответствует сектор, пропорциональный значению фитнесс-функции. Хромосомы с большим значением имеют больше шансов попасть в следующее поколение. \subsubsection{Оператор скрещивания (кроссинговера)} Одноточечный кроссинговер выполняется следующим образом: \begin{enumerate} \item Из промежуточной популяции выбираются две хромосомы (родители). \item Определяется случайная точка скрещивания $k \in [1, n-1]$, где $n$ -- длина хромосомы. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/cross1.png} \label{fig:cross1} \end{figure} \item Две новые хромосомы (потомки) формируются путём обмена подстрок после точки $k$. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.35\linewidth]{img/cross2.png} \label{fig:cross2} \end{figure} \end{enumerate} \subsubsection{Оператор мутации} Мутация применяется с малой вероятностью $P_M \approx 0.001$: \begin{enumerate} \item В хромосоме $A = a_1a_2 \ldots a_n$ выбирается случайная позиция $k$. \item Ген $a_k$ инвертируется: $a_k' = \lnot a_k$. \end{enumerate} \newpage \section*{Заключение} \addcontentsline{toc}{section}{Заключение} В ходе первой лабораторной работы: \begin{enumerate} \item Был изучен теоретический материал, основная терминология ГА, генетические операторы, использующиеся в простых ГА; \item Реализована программа на языке Python для нахождения минимума заданной функции; \item Проведено исследование зависимости времени выполнения программы и поколения от мощности популяции и коэффициентов кроссинговера и мутации. \end{enumerate} \newpage \section*{Список литературы} \addcontentsline{toc}{section}{Список литературы} \vspace{-1.5cm} \begin{thebibliography}{0} \bibitem{vostrov} Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр. \end{thebibliography} \end{document}