678 lines
51 KiB
TeX
678 lines
51 KiB
TeX
\documentclass[a4paper, final]{article}
|
||
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
|
||
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
|
||
\usepackage{tabularx}
|
||
\usepackage{booktabs}
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
|
||
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
|
||
\usepackage{setspace} %для межстрочно го интервала
|
||
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
|
||
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
|
||
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
|
||
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{afterpage}
|
||
\usepackage{longtable}
|
||
\usepackage{float}
|
||
\usepackage{xcolor}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
|
||
\usepackage{pdflscape}
|
||
% \usepackage{lscape}
|
||
|
||
\usepackage{array}
|
||
\usepackage{multirow}
|
||
|
||
\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
|
||
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
|
||
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
|
||
\usepackage{listings} %листинги
|
||
\usepackage{xcolor} % цвета
|
||
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
|
||
\usepackage{enumitem} %для перечислений
|
||
|
||
\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}
|
||
|
||
|
||
\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях
|
||
|
||
\hypersetup{colorlinks,
|
||
allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)
|
||
|
||
% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
|
||
\lstloadlanguages{ SQL}
|
||
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
|
||
\lstset{tabsize=2,
|
||
breaklines,
|
||
basicstyle=\footnotesize,
|
||
columns=fullflexible,
|
||
flexiblecolumns,
|
||
numbers=left,
|
||
numberstyle={\footnotesize},
|
||
keywordstyle=\color{blue},
|
||
inputencoding=cp1251,
|
||
extendedchars=true
|
||
}
|
||
\lstdefinelanguage{MyC}{
|
||
language=SQL,
|
||
% ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
|
||
% identifierstyle=\color{black},
|
||
% morecomment=[n]{/**}{*/},
|
||
% commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
|
||
% stringstyle=\color{red}\ttfamily,
|
||
% morestring=[b]",
|
||
% showstringspaces=false,
|
||
% morecomment=[l][\color{gray}]{//},
|
||
keepspaces=true,
|
||
escapechar=\%,
|
||
texcl=true
|
||
}
|
||
|
||
\textheight=24cm % высота текста
|
||
\textwidth=16cm % ширина текста
|
||
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
|
||
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
|
||
\parindent=24pt % абзацный отступ
|
||
\parskip=5pt % интервал между абзацами
|
||
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
|
||
\flushbottom % выравнивание высоты страниц
|
||
|
||
|
||
% Настройка листингов
|
||
\lstset{
|
||
language=python,
|
||
extendedchars=\true,
|
||
inputencoding=utf8,
|
||
keepspaces=true,
|
||
% captionpos=b, % подписи листингов снизу
|
||
}
|
||
|
||
\begin{document} % начало документа
|
||
|
||
|
||
|
||
% НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
|
||
\begin{center}
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
|
||
федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
|
||
\normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt]
|
||
\normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt]
|
||
\normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\large{Лабораторная работа №3}\\
|
||
\large{по дисциплине}\\
|
||
\large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
|
||
\large{Вариант 18}\\
|
||
|
||
% \hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\small{
|
||
\begin{tabular}{lrrl}
|
||
\!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
|
||
\!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
|
||
\!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} & Большаков А. А. \\\\
|
||
&&\hspace{4cm}
|
||
\end{tabular}
|
||
\begin{flushright}
|
||
<<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
|
||
\end{flushright}
|
||
}
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
% \hfill \break
|
||
\begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
|
||
\thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
|
||
|
||
% КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
|
||
\newpage
|
||
|
||
\tableofcontents
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section {Постановка задачи}
|
||
В данной работе были поставлены следующие задачи:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Реализовать с использованием генетических алгоритмов решение задачи коммивояжера по индивидуальному заданию согласно номеру варианта.
|
||
\item Сравнить найденное решение с представленным в условии задачи оптимальным решением.
|
||
\item Представить графически найденное решение.
|
||
\item Проанализировать время выполнения и точность нахождения результата в зависимости от вероятности различных видов кроссовера, мутации.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}
|
||
|
||
\textbf{Дано:} Эвклидовы координаты городов 38 городов в Джибути (см.~Приложение~А). Оптимальный тур представлен на Рис.~\ref{fig:optimal_tour}, его длина равна 6659.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/optimal_tour.png}
|
||
\caption{Оптимальный тур для заданного набора данных}
|
||
\label{fig:optimal_tour}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\vspace{0.3cm}
|
||
\textbf{Требуется:}
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Реализовать с использованием генетических алгоритмов решение задачи коммивояжера.
|
||
\item Для туров использовать путевое представление.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Теоретические сведения}
|
||
|
||
Генетические алгоритмы (ГА) используют принципы и терминологию, заимствованные у биологической науки – генетики. В ГА каждая особь представляет потенциальное решение некоторой
|
||
проблемы. В классическом ГА особь кодируется строкой двоичных символов – хромосомой. Однако представление хромосомы зависит от постановки задачи: для непрерывных задач удобны векторы вещественных чисел (real-coded), тогда как для комбинаторных задач, таких как задача коммивояжера (ЗК), естественно представлять тур как перестановку городов. Длина хромосомы совпадает с числом элементов задачи; двоичное кодирование ЗК, как правило, неэффективно из‑за необходимости «ремонта» решений после применения операторов.
|
||
|
||
Множество особей – потенциальных решений составляет популяцию. Поиск (суб)оптимального решения проблемы выполняется в процессе эволюции популяции - последовательного преобразования одного конечного множества решений в другое с помощью генетических операторов репродукции, кроссинговера и мутации.
|
||
|
||
Предварительно простой ГА случайным образом генерирует начальную популяцию стрингов
|
||
(хромосом). Затем алгоритм генерирует следующее поколение (популяцию), с помощью трех основных генетических операторов:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Оператор репродукции (ОР);
|
||
\item Оператор скрещивания (кроссинговера, ОК);
|
||
\item Оператор мутации (ОМ).
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
ГА работает до тех пор, пока не будет выполнено заданное количество поколений (итераций)
|
||
процесса эволюции или на некоторой генерации будет получено заданное качество или вследствие
|
||
преждевременной сходимости при попадании в некоторый локальный оптимум. На Рис.~\ref{fig:alg} представлен простой генетический алгоритм.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/alg.png}
|
||
\caption{Простой генетический алгоритм}
|
||
\label{fig:alg}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\newpage
|
||
\subsection{Основная терминология в генетических алгоритмах}
|
||
|
||
\textbf{Ген} -- элементарный код в хромосоме $s_i$, называемый также знаком или детектором
|
||
(в классическом ГА $s_i = 0, 1$).
|
||
|
||
\textbf{Хромосома} -- упорядоченная последовательность генов в виде закодированной структуры
|
||
данных $S = (s_1, s_2, \ldots, s_n)$, определяющая решение. Представление зависит от типа задачи: для непрерывных задач — вектор вещественных чисел; для ЗК — перестановка городов (см. раздел о представлениях: соседское, порядковое и путевое).
|
||
|
||
\textbf{Локус} -- местоположение (позиция, номер бита) данного гена в хромосоме.
|
||
|
||
\textbf{Аллель} -- значение, которое принимает данный ген (например, 0 или 1).
|
||
|
||
\textbf{Особь} -- одно потенциальное решение задачи (представляемое хромосомой).
|
||
|
||
\textbf{Популяция} -- множество особей (хромосом), представляющих потенциальные решения.
|
||
|
||
\textbf{Поколение} -- текущая популяция ГА на данной итерации алгоритма.
|
||
|
||
\textbf{Генотип} -- набор хромосом данной особи. В популяции могут использоваться как отдельные
|
||
хромосомы, так и целые генотипы.
|
||
|
||
\textbf{Генофонд} -- множество всех возможных генотипов.
|
||
|
||
\textbf{Фенотип} -- набор значений, соответствующий данному генотипу. Это декодированное множество
|
||
параметров задачи (например, десятичное значение $x$, соответствующее двоичному коду).
|
||
|
||
\textbf{Размер популяции $N$} -- число особей в популяции.
|
||
|
||
\textbf{Число поколений} -- количество итераций, в течение которых производится поиск.
|
||
|
||
\textbf{Селекция} -- совокупность правил, определяющих выживание особей на основе значений целевой функции.
|
||
|
||
\textbf{Эволюция популяции} -- чередование поколений, в которых хромосомы изменяют свои признаки,
|
||
чтобы каждая новая популяция лучше приспосабливалась к среде.
|
||
|
||
\textbf{Фитнесс-функция} -- функция полезности, определяющая меру приспособленности особи.
|
||
В задачах оптимизации она совпадает с целевой функцией или описывает близость к оптимальному решению.
|
||
|
||
\subsection{Представления хромосом для задачи коммивояжера}
|
||
|
||
Задача коммивояжера (ЗК) формулируется так: требуется посетить каждый из $N$ городов ровно один раз и вернуться в исходную точку, минимизируя суммарную стоимость (или длину) тура. Естественным является представление тура как перестановки городов. На практике используются три основных представления, каждое со своими операторами рекомбинации:
|
||
|
||
\subsubsection{Представление соседства}
|
||
|
||
Тур задаётся списком из $N$ городов, где в позиции $i$ указан город $j$, означающий переход из города $i$ в город $j$. Например, вектор $(2\;4\;8\;3\;9\;7\;1\;5\;6)$ соответствует туру $1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!3\!\to\!8\!\to\!5\!\to\!9\!\to\!6\!\to\!7$. У каждого корректного тура есть единственное соседское представление, однако не всякая строка в этом представлении корректна (возможны преждевременные циклы, например $1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!1\ldots$).
|
||
|
||
\subsubsection{Порядковое представление}
|
||
|
||
Тур представляется списком из $N$ позиций; $i$-й элемент равен индексу города в текущем упорядоченном списке доступных городов. Например, при опорном списке $C=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)$ тур $1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!3\!\to\!8\!\to\!5\!\to\!9\!\to\!6\!\to\!7$ кодируется как $l=(1\;1\;2\;1\;4\;1\;3\;1\;1)$, последовательно «выбирая» элементы из $C$.
|
||
|
||
\subsubsection{Путевое представление}
|
||
|
||
Наиболее интуитивное представление: тур записывается как последовательность городов, например $5\!\to\!1\!\to\!7\!\to\!8\!\to\!9\!\to\!4\!\to\!6\!\to\!2\!\to\!3$ кодируется как $(5\;1\;7\;8\;9\;4\;6\;2\;3)$. Это представление сохраняет относительный порядок городов и широко применяется на практике.
|
||
|
||
\subsection{Кроссинговеры для представлений ЗК}
|
||
|
||
Операторы рекомбинации должны сохранять допустимость туров (перестановочную природу решения). Для разных представлений используются различные кроссинговеры.
|
||
|
||
\subsubsection{Кроссинговеры для представления соседства}
|
||
|
||
\textbf{Alternating Edges (обмен рёбрами):} потомок строится, поочерёдно выбирая ребра у родителей: одно ребро у первого родителя, следующее — у второго, затем снова у первого и т.д. Если выбранное ребро замыкает цикл преждевременно, выбирается другое ещё не использованное ребро того же родителя, не образующее цикл.
|
||
|
||
\textbf{Subtour Chunks (обмен подтурами):} потомок формируется конкатенацией кусочков (подтуров), поочерёдно взятых у родителей. При образовании преждевременного цикла производится «ремонт» аналогично предыдущему оператору.
|
||
|
||
\textbf{Heuristic Crossover (эвристический):} стартуя из случайного города, на каждом шаге сравниваются два инцидентных ребра, предлагаемых родителями, и выбирается более короткое; если возникает цикл или ребро уже использовано, выбирается случайный ещё не посещённый город. Оператор нацелен на сохранение коротких рёбер, но может иметь нестабильную производительность.
|
||
|
||
\subsubsection{Кроссинговеры для порядкового представления}
|
||
|
||
Для порядкового представления корректность потомков обеспечивает классический одноточечный кроссовер: любые два родителя, разрезанные в одной позиции и склеенные, порождают допустимых потомков (поскольку выбор «по индексу» в оставшемся списке городов остаётся корректным).
|
||
|
||
\subsubsection{Кроссинговеры для путевого представления}
|
||
|
||
Для путевого представления широко применяются три оператора, гарантирующие корректную перестановку у потомков.
|
||
|
||
\paragraph{PMX (Partially Mapped Crossover).}
|
||
Идея: обменять подпоследовательности между родителями и построить отображение соответствий, которым затем разрешать конфликты (дубликаты).
|
||
|
||
\textit{Пример.} Пусть точки разреза задают сегмент позиций $4\dots7$:
|
||
$$
|
||
p_1=(1\;2\;3\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;8\;9),\quad
|
||
p_2=(4\;5\;2\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;9\;3).
|
||
$$
|
||
1) Копируем сегмент второго родителя в потомка $o_1$ и формируем отображение $\{4\leftrightarrow1,\;5\leftrightarrow8,\;6\leftrightarrow7,\;7\leftrightarrow6\}$:
|
||
$$o_1=(\_\;\_\;\_\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;\_\;\_).$$
|
||
2) Заполняем прочие позиции по порядку из $p_1$, применяя отображение при конфликтах: $1\mapsto4$, $8\mapsto5$.
|
||
$$o_1=(4\;2\;3\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;5\;9).$$
|
||
Аналогично для $o_2$ (копируем сегмент из $p_1$, заполняем остальное из $p_2$):
|
||
$$o_2=(1\;8\;2\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;9\;3).$$
|
||
PMX сохраняет как позиции части элементов, так и относительный порядок/соответствия на остальной части хромосомы.
|
||
|
||
\paragraph{OX (Order Crossover).}
|
||
Идея: скопировать сегмент одного родителя и дозаполнить оставшиеся позиции элементами второго родителя в их порядке появления (пропуская уже скопированные).
|
||
|
||
\textit{Пример.} С теми же родителями и разрезами $4\dots7$:
|
||
$$
|
||
p_1=(1\;2\;3\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;8\;9),\quad
|
||
p_2=(4\;5\;2\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;9\;3).
|
||
$$
|
||
1) Копируем сегмент $p_1$ в $o_1$:
|
||
$$o_1=(\_\;\_\;\_\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;\_\;\_).$$
|
||
2) Обходя $p_2$ с позиции после правого разреза, дозаполняем: получаем
|
||
$$o_1=(2\;1\;8\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;9\;3).$$
|
||
Симметрично для $o_2$ (копируем сегмент из $p_2$ и дозаполняем порядком из $p_1$):
|
||
$$o_2=(3\;4\;5\;|\;1\;8\;7\;6\;|\;9\;2).$$
|
||
Оператор OX сохраняет относительный порядок городов; циклический сдвиг тура несущественен.
|
||
|
||
\paragraph{CX (Cycle Crossover).}
|
||
Идея: находить циклы позиций, индуцированные взаимным расположением значений у родителей, и наследовать циклы по очереди из разных родителей.
|
||
|
||
\textit{Пример.} Возьмём
|
||
$$
|
||
p_1=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9),\quad
|
||
p_2=(4\;5\;2\;1\;8\;7\;6\;9\;3).
|
||
$$
|
||
Построив циклы позиций, получим допустимых потомков, например:
|
||
$$o_1=(1\;2\;3\;4\;7\;6\;9\;8\;5),\quad o_2=(4\;1\;2\;8\;5\;6\;7\;3\;9).$$
|
||
CX сохраняет абсолютные позиции части элементов и способствует передаче «циклами» взаимных расположений.
|
||
|
||
Отметим, что путевое представление акцентирует порядок городов (а не стартовый город), поэтому туры, отличающиеся циклическим сдвигом, эквивалентны.
|
||
|
||
\subsection{Мутации для путевого представления}
|
||
|
||
Операторы мутации в ГА для задачи коммивояжёра должны сохранять допустимость решения (перестановочную структуру). Для путевого представления применяются специализированные операторы, которые модифицируют порядок городов, не нарушая корректности тура.
|
||
|
||
\paragraph{Swap (обмен двух элементов).}
|
||
|
||
Идея: выбрать случайным образом две позиции в маршруте и обменять находящиеся на них города местами.
|
||
|
||
\textit{Пример.} Пусть исходный тур:
|
||
$$
|
||
t=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9).
|
||
$$
|
||
Выбираем позиции $i=2$ и $j=6$ (элементы $3$ и $7$). После обмена получаем:
|
||
$$
|
||
t'=(1\;2\;7\;4\;5\;6\;3\;8\;9).
|
||
$$
|
||
Оператор swap обеспечивает локальную модификацию тура, изменяя положение только двух городов.
|
||
|
||
\paragraph{Inversion (инверсия сегмента).}
|
||
|
||
Идея: выбрать случайный сегмент маршрута и обратить порядок городов внутри него.
|
||
|
||
\textit{Пример.} Для того же тура выбираем позиции разреза $i=3$ и $j=7$ (сегмент $4\;5\;6\;7$):
|
||
$$
|
||
t=(1\;2\;3\;|\;4\;5\;6\;7\;|\;8\;9).
|
||
$$
|
||
Инвертируем выделенный сегмент:
|
||
$$
|
||
t'=(1\;2\;3\;|\;7\;6\;5\;4\;|\;8\;9).
|
||
$$
|
||
Инверсия сохраняет связность частей маршрута, меняя направление обхода в подтуре. Этот оператор особенно эффективен при наличии пересечений рёбер, так как инверсия может «распутать» некоторые из них и улучшить длину маршрута.
|
||
|
||
\paragraph{Insertion (вырезка и вставка).}
|
||
|
||
Идея: выбрать случайный город, удалить его из текущей позиции и вставить в другую случайную позицию маршрута.
|
||
|
||
\textit{Пример.} Пусть исходный тур:
|
||
$$
|
||
t=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9).
|
||
$$
|
||
Выбираем город на позиции $i=3$ (элемент $4$) и целевую позицию $j=7$. Удаляем элемент $4$:
|
||
$$
|
||
t_{\text{tmp}}=(1\;2\;3\;5\;6\;7\;8\;9).
|
||
$$
|
||
Вставляем $4$ на позицию $7$:
|
||
$$
|
||
t'=(1\;2\;3\;5\;6\;7\;4\;8\;9).
|
||
$$
|
||
insertion изменяет расположение одного города относительно других, смещая соседей.
|
||
|
||
Все три оператора гарантируют сохранение корректной перестановки: каждый город остаётся в туре ровно один раз.
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Особенности реализации}
|
||
В рамках работы создана мини-библиотека \texttt{gen.py} для решения задачи коммивояжёра (TSP) генетическим алгоритмом с путевым представлением хромосом. Второй модуль
|
||
\texttt{expirements.py} организует серийные эксперименты (перебор параметров,
|
||
форматирование и сохранение результатов).
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \textbf{Кодирование особей}: каждая хромосома представлена как перестановка городов (\texttt{Chromosome = list[int]}), где каждый элемент -- индекс города. Популяция -- список хромосом (\texttt{Population = list[Chromosome]}). Инициализация случайными перестановками без повторений:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{initialize\_random\_population(pop\_size: int, cities: Cites) -> Population}
|
||
\end{itemize}
|
||
\item \textbf{Фитнесс-функция}: целевая функция принимает хромосому (маршрут) и возвращает скалярное значение фитнесса (длину пути). Для режима минимизации используется внутреннее преобразование при селекции (сдвиг и инверсия знака), что позволяет применять рулетку:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{eval\_population(population: Population, fitness\_func: FitnessFn) -> Fitnesses}
|
||
\item Логика режима минимизации в \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}
|
||
\end{itemize}
|
||
\item \textbf{Селекция (рулетка)}: вероятности нормируются после сдвига на минимальное значение в поколении (устойчиво к отрицательным фитнессам). Функция:
|
||
\texttt{reproduction(population: Population, fitnesses: Fitnesses) -> Population}.
|
||
\item \textbf{Кроссинговер}: реализованы специализированные операторы для перестановок: PMX (Partially Mapped Crossover), OX (Ordered Crossover) и CX (Cycle Crossover). Кроссинговер выполняется попарно по перемешанной популяции с вероятностью $p_c$. Функции:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{partially\_mapped\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
|
||
\item \texttt{ordered\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
|
||
\item \texttt{cycle\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
|
||
\item \texttt{crossover(population: Population, pc: float, crossover\_fn: CrossoverFn) -> Population}
|
||
\end{itemize}
|
||
\item \textbf{Мутация}: реализованы три типа мутаций для перестановок: обмен двух городов (swap), инверсия сегмента (inversion), вырезка и вставка города (insertion). Мутация применяется с вероятностью $p_m$. Функции:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{swap\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
|
||
\item \texttt{inversion\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
|
||
\item \texttt{insertion\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
|
||
\item \texttt{mutation(population: Population, pm: float, mutation\_fn: MutationFn) -> Population}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textbf{Критерий остановки}: поддерживаются критерии по максимальному количеству поколений, повторению лучшего результата, достижению порогового значения фитнесса. Хранится история всех поколений. Проверка выполняется в функции:
|
||
|
||
\texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}.
|
||
\item \textbf{Визуализация}: реализована отрисовка маршрутов обхода городов на плоскости с отображением лучшей особи поколения. Функции:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{plot\_tour(cities: list[tuple[float, float]], tour: list[int], ax: Axes)}
|
||
\item \texttt{save\_generation(generation: Generation, history: list[Generation], config: GARunConfig)}
|
||
\item \texttt{plot\_fitness\_history(result: GARunResult, save\_path: str | None) -> None}
|
||
\end{itemize}
|
||
\item \textbf{Элитизм}: поддерживается перенос лучших особей без изменения в следующее поколение (\texttt{elitism} параметр).
|
||
\item \textbf{Измерение времени}: длительность вычислений возвращается в миллисекундах как часть \texttt{GARunResult.time\_ms}.
|
||
\item \textbf{Файловая организация}: результаты экспериментов сохраняются в структуре \texttt{experiments/N/} с таблицами результатов. Задействованные функции:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{clear\_results\_directory(results\_dir: str) -> None}
|
||
\item Функции для проведения экспериментов в модуле \texttt{expirements.py}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
В модуле \texttt{expirements.py} задаются координаты городов и параметры экспериментов.
|
||
Серийные запуски и сохранение результатов реализованы для исследования влияния параметров ГА на качество решения задачи коммивояжёра.
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Результаты работы}
|
||
|
||
На Рис.~\ref{fig:gen1}--\ref{fig:lastgen} представлены результаты работы генетического алгоритма со следующими параметрами:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $N = 500$ -- размер популяции.
|
||
\item $p_c = 0.9$ -- вероятность кроссинговера.
|
||
\item $p_m = 0.3$ -- вероятность мутации.
|
||
\item $2500$ -- максимальное количество поколений.
|
||
\item $3$ -- количество "элитных" особей, переносимых без изменения в следующее поколение.
|
||
\item Partially mapped crossover - кроссовер.
|
||
\item Inversion mutation - мутация
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
На Рис.~\ref{fig:fitness_history} показан график изменения фитнесса по поколениям. Видно, что алгоритм постепенно сходится к минимально возможному значению фитнеса. Лучший маршрут был найден на поколнении №1896 (см. Рис.~\ref{fig:lastgen}).
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/fitness_history.png}
|
||
\caption{График изменения фитнесса по поколениям}
|
||
\label{fig:fitness_history}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_001.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут поколения №1}
|
||
\label{fig:gen1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_005.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут поколения №5}
|
||
\label{fig:gen5}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_050.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут поколения №50}
|
||
\label{fig:gen50}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_100.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут поколения №100}
|
||
\label{fig:gen100}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_300.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут поколения №300}
|
||
\label{fig:gen300}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_500.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут поколения №500}
|
||
\label{fig:gen500}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/generation_900.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут поколения №900}
|
||
\label{fig:gen900}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/results/best_generation_1896.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут поколения №1896}
|
||
\label{fig:lastgen}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\phantom{text}
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Исследование реализации}
|
||
\subsection{Проведение измерений}
|
||
В рамках лабораторной работы необходимо было исследовать зависимость времени выполнения задачи и количества поколений от популяции и вероятностей кроссинговера и мутации хромосомы
|
||
|
||
Для исследования были выбраны следующие значения параметров:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $N = 10, 50, 100, 500$ -- размер популяции.
|
||
\item $p_c = 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9$ -- вероятность кроссинговера.
|
||
\item $p_m = 0.05, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.8$ -- вероятность мутации.
|
||
\item $3$ -- количество "элитных" особей, переносимых без изменения в следующее поколение.
|
||
\item Partially mapped crossover - кроссовер.
|
||
\item Inversion mutation - мутация
|
||
\item 7000 - пороговое значение фитнеса для остановки алгоритма.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Результаты измерений представлены в таблицах \ref{tab:pc_pm_results_10}--\ref{tab:pc_pm_results_500}. В ячейках указано время в миллисекундах нахождения минимума функции. В скобках указано количество поколений, за которое было найдено решение. Во второй строке указано усреднённое по всем запускам лучшее значение фитнеса. Если в ячейке стоит прочерк, то это означает, что решение не было найдено за 2500 поколений. Лучшее значение по времени выполнения и по значению фитнеса для каждого размера популяции выделено цветом и жирным шрифтом.
|
||
|
||
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
|
||
% Автоматически сгенерированные LaTeX таблицы
|
||
% Лучший результат по времени и по фитнесу выделены жирным отдельно
|
||
% Убедитесь, что подключен \usepackage{tabularx}
|
||
% ВНИМАНИЕ: Убедитесь, что подключен \usepackage{xcolor} для цветового выделения
|
||
% Используйте \newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X} перед таблицами
|
||
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\centering
|
||
\small
|
||
\caption{Результаты для $N = 10$}
|
||
\begin{tabularx}{\linewidth}{l *{6}{Y}}
|
||
\toprule
|
||
$\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.050} & \textbf{0.200} & \textbf{0.300} & \textbf{0.400} & \textbf{0.500} & \textbf{0.800} \\
|
||
\midrule
|
||
\textbf{0.5} & — & — & 674.4 (1783) 6943.28027 & 715.1 (1856) 6925.47290 & — & 225.5 (567) 6984.75016 \\
|
||
\textbf{0.6} & — & — & 550.6 (1427) 6899.82219 & 649.4 (1653) 6897.01699 & — & — \\
|
||
\textbf{0.7} & — & — & 476.7 (1216) 6796.98342 & 287.4 (724) 6977.43028 & \textcolor{magenta}{\textbf{201.0 (503)}} 6794.32839 & — \\
|
||
\textbf{0.8} & — & — & — & 767.2 (1852) 6810.96744 & 253.3 (623) 6905.36866 & — \\
|
||
\textbf{0.9} & — & — & — & — & — & — \\
|
||
\textbf{1.0} & — & 750.9 (1847) 6988.52746 & 415.7 (1016) 6897.99266 & 465.7 (1126) \textcolor{magenta}{\textbf{6762.96572}} & 275.9 (662) 6997.70453 & — \\
|
||
\bottomrule
|
||
\end{tabularx}
|
||
\label{tab:pc_pm_results_10}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\centering
|
||
\small
|
||
\caption{Результаты для $N = 50$}
|
||
\begin{tabularx}{\linewidth}{l *{6}{Y}}
|
||
\toprule
|
||
$\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.050} & \textbf{0.200} & \textbf{0.300} & \textbf{0.400} & \textbf{0.500} & \textbf{0.800} \\
|
||
\midrule
|
||
\textbf{0.5} & 1711.4 (1083) 6927.73356 & — & 1642.7 (1015) 6894.10066 & 1355.6 (809) 6938.12550 & — & 936.3 (544) 6925.57274 \\
|
||
\textbf{0.6} & 1338.4 (828) 6952.02461 & 889.1 (552) 6951.40489 & 1142.5 (687) 6963.17379 & 1446.9 (864) 6992.95281 & — & 2646.2 (1509) 6932.85788 \\
|
||
\textbf{0.7} & 1860.8 (1146) 6996.63686 & — & 2387.8 (1378) 6999.00110 & — & \textcolor{magenta}{\textbf{809.9 (474)}} 6965.83938 & 1614.7 (918) 6990.50067 \\
|
||
\textbf{0.8} & — & — & 1244.4 (713) \textcolor{magenta}{\textbf{6704.60011}} & 1500.5 (859) 6970.42362 & 1013.5 (581) 6998.68282 & — \\
|
||
\textbf{0.9} & — & — & — & — & — & — \\
|
||
\textbf{1.0} & — & 891.6 (503) 6952.80522 & — & — & 1489.6 (824) 6735.40661 & 3685.9 (1978) 6989.21247 \\
|
||
\bottomrule
|
||
\end{tabularx}
|
||
\label{tab:pc_pm_results_50}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\centering
|
||
\small
|
||
\caption{Результаты для $N = 100$}
|
||
\begin{tabularx}{\linewidth}{l *{6}{Y}}
|
||
\toprule
|
||
$\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.050} & \textbf{0.200} & \textbf{0.300} & \textbf{0.400} & \textbf{0.500} & \textbf{0.800} \\
|
||
\midrule
|
||
\textbf{0.5} & 1342.3 (441) 6988.26353 & 1467.7 (459) 6958.81642 & 4041.3 (1269) \textcolor{magenta}{\textbf{6839.94363}} & — & — & 3635.1 (1046) 6966.14098 \\
|
||
\textbf{0.6} & 2460.6 (763) 6872.20321 & \textcolor{magenta}{\textbf{1316.5 (409)}} 6861.65860 & — & 2310.7 (691) 6912.50054 & 2220.9 (663) 6907.57533 & — \\
|
||
\textbf{0.7} & — & 1934.1 (591) 6933.87982 & — & 1966.0 (587) 6943.09435 & 2872.9 (840) 6998.39699 & — \\
|
||
\textbf{0.8} & 3227.9 (969) 6990.28735 & 1754.4 (523) 6996.67018 & — & 2152.8 (621) 6988.30495 & 8057.2 (2236) 6899.21400 & — \\
|
||
\textbf{0.9} & — & — & 3794.4 (1079) 6963.79199 & 2549.3 (721) 6975.22091 & 4469.6 (1249) 6945.46938 & 8919.4 (2375) 6858.03529 \\
|
||
\textbf{1.0} & 4164.4 (1215) 6927.53288 & — & — & — & 3618.7 (1019) 6898.56773 & — \\
|
||
\bottomrule
|
||
\end{tabularx}
|
||
\label{tab:pc_pm_results_100}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\centering
|
||
\small
|
||
\caption{Результаты для $N = 500$}
|
||
\begin{tabularx}{\linewidth}{l *{6}{Y}}
|
||
\toprule
|
||
$\mathbf{P_c \;\backslash\; P_m}$ & \textbf{0.050} & \textbf{0.200} & \textbf{0.300} & \textbf{0.400} & \textbf{0.500} & \textbf{0.800} \\
|
||
\midrule
|
||
\textbf{0.5} & 11709.8 (782) 6994.15844 & \textcolor{magenta}{\textbf{5232.3 (341)}} 6957.38204 & 10676.9 (674) 6980.66167 & 6849.7 (430) 6782.99526 & — & 13051.6 (775) 6880.72481 \\
|
||
\textbf{0.6} & 7193.3 (461) 6960.64487 & — & — & 14856.5 (866) 6941.77959 & 12944.9 (776) 6958.57319 & 19051.6 (1102) 6951.30787 \\
|
||
\textbf{0.7} & 18611.7 (1150) 6810.96744 & 23286.9 (1413) 6895.65139 & — & 14141.6 (830) 6976.37927 & — & — \\
|
||
\textbf{0.8} & 25456.0 (1556) 6962.40902 & — & 20592.3 (1223) 6998.71555 & — & — & 38979.2 (2097) 6842.54074 \\
|
||
\textbf{0.9} & 14260.1 (825) 6967.60134 & 26692.6 (1551) 6922.32909 & — & — & 29235.4 (1644) \textcolor{magenta}{\textbf{6667.02991}} & 41352.0 (2252) 6765.87009 \\
|
||
\textbf{1.0} & 34026.1 (1996) 6953.24255 & — & — & — & — & — \\
|
||
\bottomrule
|
||
\end{tabularx}
|
||
\label{tab:pc_pm_results_500}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\phantom{text}
|
||
\newpage
|
||
\phantom{text}
|
||
\newpage
|
||
\phantom{text}
|
||
\subsection{Анализ результатов}
|
||
|
||
Наилучшее найденное решение составило \textbf{6667.03} при параметрах $N=500$, $P_c=0.9$, $P_m=0.5$ за 1644 поколения. Это всего на \textbf{0.12\%} хуже оптимального значения 6659, что демонстрирует высокую эффективность алгоритма. Наихудшие результаты показала конфигурация с $N=10$, $P_c=0.7$, $P_m=0.3$ (лучший фитнес 6796.98), что на 2.07\% хуже оптимума. Малый размер популяции в 10 особей оказался недостаточным для стабильного поиска качественных решений — более половины конфигураций при $N=10$ вообще не нашли решение за 2500 поколений.
|
||
|
||
Наиболее быстрая конфигурация — $N=10$, $P_c=0.7$, $P_m=0.5$ — нашла решение за \textbf{201 мс} (503 поколения). Однако качество решения при таких параметрах нестабильно. Среди конфигураций с большой популяцией лучшее время показала $N=500$, $P_c=0.5$, $P_m=0.2$ — \textbf{5232 мс} (341 поколение), что является оптимальным балансом скорости и качества для больших популяций.
|
||
|
||
С ростом размера популяции наблюдается явное улучшение качества решений: при $N=10$ лучший результат 6762.97, при $N=500$ — 6667.03. Одновременно количество необходимых поколений снижается (с 503 до 341), но общее время выполнения растет линейно из-за увеличения числа особей в каждом поколении. Этот эффект объясняется тем, что большая популяция обеспечивает большее генетическое разнообразие, позволяя алгоритму быстрее находить оптимальные решения.
|
||
|
||
Что касается вероятности кроссовера, средние значения $P_c=0.6$--$0.8$ показывают стабильные результаты для всех размеров популяций. Экстремальные значения ($P_c=0.9$ или $1.0$) работают хорошо только при больших популяциях ($N \geq 100$), при малых — часто приводят к преждевременной сходимости (наблюдается много прочерков в таблицах). Это связано с тем, что высокая вероятность кроссовера при малой популяции быстро приводит к гомогенизации генофонда.
|
||
|
||
Анализ влияния вероятности мутации показал, что низкие значения $P_m=0.05$ неэффективны для малых популяций — недостаточно разнообразия для выхода из локальных минимумов. Умеренные значения $P_m=0.2$--$0.5$ демонстрируют лучшие результаты, обеспечивая баланс между эксплуатацией найденных решений и исследованием нового пространства поиска. Высокое значение $P_m=0.8$ часто приводит к расхождению алгоритма, так как слишком сильные изменения разрушают хорошие решения быстрее, чем алгоритм успевает их найти (многие конфигурации не нашли решение за отведенное время).
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Ответ на контрольный вопрос}
|
||
|
||
\textbf{Вопрос}: Тур в порядковом представлении, используемые кроссинговеры.
|
||
|
||
\textbf{Ответ}: Тур представляется списком из $N$ позиций; $i$-й элемент равен индексу города в текущем упорядоченном списке доступных городов. Например, при опорном списке $C=(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)$ тур $1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!3\!\to\!8\!\to\!5\!\to\!9\!\to\!6\!\to\!7$ кодируется как $l=(1\;1\;2\;1\;4\;1\;3\;1\;1)$, последовательно «выбирая» элементы из $C$.
|
||
|
||
Для порядкового представления корректность потомков обеспечивает классический одноточечный кроссовер: любые два родителя, разрезанные в одной позиции и склеенные, порождают допустимых потомков (поскольку выбор «по индексу» в оставшемся списке городов остаётся корректным).
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section*{Заключение}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Заключение}
|
||
|
||
В ходе третьей лабораторной работы была успешно решена задача коммивояжера с использованием генетических алгоритмов для 38 городов Джибути:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Изучен теоретический материал о представлениях туров (соседское, порядковое, путевое) и специализированных операторах кроссинговера и мутации для задачи коммивояжера;
|
||
\item Создана программная библиотека на языке Python с реализацией путевого представления хромосом, операторов PMX, OX и CX для кроссинговера, операторов swap, inversion и insertion для мутации, а также селекции методом рулетки с поддержкой элитизма;
|
||
\item Проведено исследование влияния параметров генетического алгоритма на качество и скорость нахождения решения для популяций размером 10, 50, 100 и 500 особей с различными значениями вероятностей кроссинговера и мутации;
|
||
\item Получено решение с длиной маршрута 6667.03, отклоняющееся от оптимального значения 6659 всего на 0.12\%.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section*{Список литературы}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}
|
||
|
||
\vspace{-1.5cm}
|
||
\begin{thebibliography}{0}
|
||
\bibitem{vostrov}
|
||
Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
|
||
\end{thebibliography}
|
||
|
||
\end{document} |