369 lines
22 KiB
TeX
369 lines
22 KiB
TeX
\documentclass[a4paper, final]{article}
|
||
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
|
||
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
|
||
\usepackage{tabularx}
|
||
\usepackage{booktabs}
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
|
||
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
|
||
\usepackage{setspace} %для межстрочно го интервала
|
||
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
|
||
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
|
||
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
|
||
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{afterpage}
|
||
\usepackage{longtable}
|
||
\usepackage{float}
|
||
\usepackage{xcolor}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
|
||
\usepackage{pdflscape}
|
||
% \usepackage{lscape}
|
||
|
||
\usepackage{array}
|
||
\usepackage{multirow}
|
||
|
||
\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
|
||
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
|
||
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
|
||
\usepackage{listings} %листинги
|
||
\usepackage{xcolor} % цвета
|
||
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
|
||
\usepackage{enumitem} %для перечислений
|
||
|
||
\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}
|
||
|
||
|
||
\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях
|
||
|
||
\hypersetup{colorlinks,
|
||
allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)
|
||
|
||
% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
|
||
\lstloadlanguages{ SQL}
|
||
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
|
||
\lstset{tabsize=2,
|
||
breaklines,
|
||
basicstyle=\footnotesize,
|
||
columns=fullflexible,
|
||
flexiblecolumns,
|
||
numbers=left,
|
||
numberstyle={\footnotesize},
|
||
keywordstyle=\color{blue},
|
||
inputencoding=cp1251,
|
||
extendedchars=true
|
||
}
|
||
\lstdefinelanguage{MyC}{
|
||
language=SQL,
|
||
% ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
|
||
% identifierstyle=\color{black},
|
||
% morecomment=[n]{/**}{*/},
|
||
% commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
|
||
% stringstyle=\color{red}\ttfamily,
|
||
% morestring=[b]",
|
||
% showstringspaces=false,
|
||
% morecomment=[l][\color{gray}]{//},
|
||
keepspaces=true,
|
||
escapechar=\%,
|
||
texcl=true
|
||
}
|
||
|
||
\textheight=24cm % высота текста
|
||
\textwidth=16cm % ширина текста
|
||
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
|
||
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
|
||
\parindent=24pt % абзацный отступ
|
||
\parskip=5pt % интервал между абзацами
|
||
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
|
||
\flushbottom % выравнивание высоты страниц
|
||
|
||
|
||
% Настройка листингов
|
||
\lstset{
|
||
language=python,
|
||
extendedchars=\true,
|
||
inputencoding=utf8,
|
||
keepspaces=true,
|
||
% captionpos=b, % подписи листингов снизу
|
||
}
|
||
|
||
\begin{document} % начало документа
|
||
|
||
|
||
|
||
% НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
|
||
\begin{center}
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
|
||
федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
|
||
\normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt]
|
||
\normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt]
|
||
\normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\large{Лабораторная работа №6}\\
|
||
\large{по дисциплине}\\
|
||
\large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
|
||
\large{Вариант 18}\\
|
||
|
||
% \hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\small{
|
||
\begin{tabular}{lrrl}
|
||
\!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
|
||
\!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
|
||
\!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} & Большаков А. А. \\\\
|
||
&&\hspace{4cm}
|
||
\end{tabular}
|
||
\begin{flushright}
|
||
<<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
|
||
\end{flushright}
|
||
}
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
% \hfill \break
|
||
\begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
|
||
\thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
|
||
|
||
% КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
|
||
\newpage
|
||
|
||
\tableofcontents
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section {Постановка задачи}
|
||
В данной работе были поставлены следующие задачи:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Реализовать с использованием муравьиных алгоритмов решение задачи коммивояжера по индивидуальному заданию согласно номеру варианта.
|
||
\item Представить графически найденное решение
|
||
\item Сравнить найденное решение с представленным в условии задачи оптимальным решением и результатами, полученными в лабораторной работе №3.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}
|
||
|
||
\textbf{Дано:} Эвклидовы координаты городов 38 городов в Джибути (см.~Приложение~А). Оптимальный тур представлен на Рис.~\ref{fig:optimal_tour}, его длина равна 6659.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/optimal_tour.png}
|
||
\caption{Оптимальный тур для заданного набора данных}
|
||
\label{fig:optimal_tour}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Теоретические сведения}
|
||
|
||
\subsection{Общие сведения о муравьиных алгоритмах}
|
||
|
||
Муравьиные алгоритмы (МА) относятся к метаэвристическим методам оптимизации и предназначены преимущественно для решения задач комбинаторной оптимизации, в частности задачи поиска оптимальных путей на графах. Основная идея таких алгоритмов основана на моделировании коллективного поведения реальных муравьёв, использующих феромонные следы для обмена информацией.
|
||
|
||
Каждый агент, называемый \textit{искусственным муравьём}, поэтапно строит решение задачи, перемещаясь по графу и выбирая следующую вершину на основе вероятностного правила, учитывающего концентрацию феромона на дугах графа. Феромон отражает привлекательность соответствующих маршрутов: чем выше его концентрация на дуге, тем вероятнее выбор этой дуги муравьём.
|
||
|
||
\subsection{Простой муравьиный алгоритм (SACO)}
|
||
|
||
Для иллюстрации рассмотрим простой муравьиный алгоритм SACO (Simple Ant Colony Optimization). Пусть задан граф
|
||
\[
|
||
G = (V, E),
|
||
\]
|
||
где $V$ — множество вершин, $E$ — множество рёбер. Каждой дуге $(i,j)$ сопоставлена величина феромона $\tau_{ij}$.
|
||
|
||
В начальный момент концентрация феромона обычно принимается нулевой, однако для предотвращения зацикливания каждому ребру присваивается малое случайное начальное значение $\tau_{ij}^{(0)}$.
|
||
|
||
Каждый муравей $k=1,\ldots,n_k$ помещается в стартовую вершину и начинает построение пути. Если муравей находится в вершине $i$, он выбирает следующую вершину $j \in N_i^k$ на основе вероятностного правила
|
||
\[
|
||
p_{ij}^k(t) = \frac{\tau_{ij}^\alpha(t)}{\sum\limits_{l \in N_i^k} \tau_{il}^\alpha(t)},
|
||
\]
|
||
где $\alpha$ — параметр, определяющий степень влияния феромона.
|
||
|
||
При отсутствии допустимых переходов допускается возврат в предыдущую вершину, что приводит к появлению петель, которые впоследствии удаляются.
|
||
|
||
После завершения построения полного пути $x_k(t)$ выполняется его оценка. Длина пути обозначается как $L_k(t)$ и равна числу пройденных дуг.
|
||
|
||
\subsection{Обновление феромона}
|
||
|
||
Каждый муравей откладывает феромон на рёбрах своего пути согласно правилу
|
||
\[
|
||
\Delta \tau_{ij}^k(t) =
|
||
\begin{cases}
|
||
\frac{1}{L_k(t)}, &\text{если дуга } (i,j) \in x_k(t), \\
|
||
0, &\text{иначе}.
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
|
||
Общее обновление феромона на дуге $(i,j)$:
|
||
\[
|
||
\tau_{ij}(t+1) = \tau_{ij}(t) + \sum_{k=1}^{n_k} \Delta\tau_{ij}^k(t).
|
||
\]
|
||
|
||
Чем короче путь, тем больше феромона откладывается на его рёбрах, что повышает вероятность выбора коротких маршрутов в последующих итерациях.
|
||
|
||
\subsection{Испарение феромона}
|
||
|
||
Чтобы предотвратить преждевременную сходимость алгоритма к локальным минимумам, применяется механизм \textit{искусственного испарения феромона}. На каждом шаге выполняется:
|
||
\[
|
||
\tau_{ij}(t) = (1 - \rho)\,\tau_{ij}(t),
|
||
\]
|
||
где $\rho \in [0,1]$ — коэффициент испарения. Большие значения $\rho$ усиливают случайность поиска, малые — повышают устойчивость к изменениям.
|
||
|
||
\subsection{Критерии остановки алгоритма}
|
||
|
||
Муравьиные алгоритмы могут завершаться при выполнении одного из условий:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item достигнуто максимальное число итераций;
|
||
\item найдено решение приемлемого качества $f(x_k(t)) \leq \varepsilon$;
|
||
\item все муравьи начинают строить одинаковые маршруты, что говорит о стабилизации процесса.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\subsection{Описание общего алгоритма}
|
||
|
||
Алгоритм SACO можно представить в следующем виде:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Инициализация феромона малыми случайными значениями $\tau_{ij}^{(0)}$.
|
||
\item Размещение всех муравьёв в начальной вершине.
|
||
\item Для каждой итерации:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Каждый муравей строит путь согласно вероятностному правилу выбора вершины.
|
||
\item Выполняется удаление петель.
|
||
\item Вычисляется длина пути $L_k(t)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\item Выполняется испарение феромона.
|
||
\item Каждый муравей откладывает феромон на рёбрах своего пути.
|
||
\item Итерация продолжается до выполнения критерия остановки.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Муравьиные алгоритмы позволяют эффективно находить приближённые решения задач комбинаторной оптимизации, таких как задача коммивояжёра, что и является целью данной лабораторной работы.
|
||
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Особенности реализации}
|
||
|
||
Код решения собран в модуле \texttt{lab6/aco.py}. Ниже приведены ключевые элементы реализации с небольшими листингами (язык Python) и пояснениями.
|
||
|
||
\subsection{Структуры данных и инициализация}
|
||
Конфигурация алгоритма и структура результата оформлены через \texttt{dataclass}; в конфиге задаются параметры $\alpha$, $\beta$, $\rho$, $q$, число муравьёв и итераций, а также зерно генератора случайных чисел:
|
||
\begin{lstlisting}[language=Python]
|
||
@dataclass
|
||
class ACOConfig:
|
||
cities: Sequence[City]
|
||
n_ants: int
|
||
n_iterations: int
|
||
alpha: float = 1.0
|
||
beta: float = 5.0
|
||
rho: float = 0.5
|
||
q: float = 1.0
|
||
seed: int | None = None
|
||
\end{lstlisting}
|
||
|
||
При создании \texttt{AntColonyOptimizer} матрица расстояний вычисляется один раз, а феромон инициализируется единицами (с нулями на диагонали), чтобы не допускать самопереходов.
|
||
|
||
\subsection{Построение и оценка тура}
|
||
Каждый муравей стартует в случайном городе и расширяет маршрут, используя вероятностный выбор следующей вершины, где вес ребра определяется как $\tau^\alpha \cdot (1/d)^\beta$:
|
||
\begin{lstlisting}[language=Python]
|
||
def _choose_next_city(self, current: int, unvisited: set[int]) -> int:
|
||
candidates = list(unvisited)
|
||
weights = []
|
||
for nxt in candidates:
|
||
tau = self.pheromone[current][nxt] ** self.config.alpha
|
||
eta = (1.0 / (self.dist_matrix[current][nxt] + 1e-12)) ** self.config.beta
|
||
weights.append(tau * eta)
|
||
return random.choices(candidates, weights=weights, k=1)[0]
|
||
\end{lstlisting}
|
||
|
||
Длина тура вычисляется как сумма евклидовых расстояний между последовательными городами, включая возврат в исходную точку.
|
||
|
||
\subsection{Обновление феромона}
|
||
После завершения итерации выполняется испарение и добавление феромона $q/L$ на рёбра маршрутов всех муравьёв. Короткие маршруты оставляют более сильный след и начинают доминировать в вероятностном выборе:
|
||
\begin{lstlisting}[language=Python]
|
||
for i in range(len(self.pheromone)):
|
||
for j in range(len(self.pheromone)):
|
||
self.pheromone[i][j] *= 1 - self.config.rho
|
||
|
||
for tour, length in zip(tours, lengths):
|
||
deposit = self.config.q / length
|
||
for i in range(len(tour)):
|
||
a, b = tour[i], tour[(i + 1) % len(tour)]
|
||
self.pheromone[a][b] += deposit
|
||
self.pheromone[b][a] += deposit
|
||
\end{lstlisting}
|
||
|
||
\subsection{Загрузка данных и визуализация}
|
||
Координаты городов считываются из \texttt{lab3/data.txt}; в файле содержатся 38 уникальных точек. Для визуализации используется \texttt{matplotlib}, что позволяет сохранить исходную ориентацию системы координат (ось $Y$ направлена вверх) и избежать инверсии рисунка. Функция \texttt{plot\_tour} строит ломаную линию обхода, подсвечивает вершины и сохраняет результат в \texttt{lab6/report/img}. График сходимости \texttt{plot\_history} отображает изменение лучшей длины тура по итерациям с сеткой и подписями осей.
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Результаты работы}
|
||
|
||
Алгоритм был запущен со следующими параметрами: 50 муравьёв, 400 итераций, $\alpha = 1{,}2$, $\beta = 5$, $\rho = 0{,}5$, $q = 1$, случайное зерно $7$. Лучший найденный тур имеет длину $6662{,}35$, что на $0{,}05\%$ отличается от оптимального значения 6659.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.95\linewidth]{img/optimal_tour.png}
|
||
\caption{Оптимальный маршрут длиной 6659}
|
||
\label{fig:optimal_result}
|
||
\end{minipage}\hfill
|
||
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.95\linewidth]{img/aco_best_tour.png}
|
||
\caption{Лучший маршрут, найденный муравьиным алгоритмом (6662{,}35)}
|
||
\label{fig:aco_tour}
|
||
\end{minipage}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/aco_history.png}
|
||
\caption{Сходимость длины лучшего тура по итерациям}
|
||
\label{fig:aco_history}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\subsection{Сравнение с результатами лабораторной работы №3}
|
||
|
||
Для лабораторной работы №3 с генетическим алгоритмом лучший результат составил \textbf{6667{,}03} при популяции $N=500$, вероятностях $P_c=0{,}9$ и $P_m=0{,}5$. Муравьиный алгоритм показал более точное решение: длина тура \textbf{6662{,}35} против оптимального 6659. Разница с оптимумом составила 3{,}35 единицы (0{,}05\%), тогда как в лабораторной работе №3 отклонение было 8{,}03 (0{,}12\%).
|
||
|
||
По скорости муравьиный алгоритм также оказался более экономичным: 400 итераций с 50 муравьями вместо 1644 поколений с популяцией 500 в генетическом подходе. Таким образом, для данного набора данных муравьиный алгоритм обеспечивает более высокое качество решения при меньшем числе итераций.
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section*{Заключение}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Заключение}
|
||
|
||
В ходе шестой лабораторной работы выполнена реализация простого муравьиного алгоритма для задачи коммивояжёра:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Разработан модуль \texttt{aco.py} с конфигурацией алгоритма, построением туров, обновлением феромона и визуализацией результатов с помощью \texttt{matplotlib}.
|
||
\item Проведён численный эксперимент на данных из варианта 18 (38 городов Джибути); подобраны параметры $\alpha=1{,}2$, $\beta=5$, $\rho=0{,}5$, 50 муравьёв, 400 итераций.
|
||
\item Получено приближённое решение длиной 6662{,}35, что всего на 0{,}05\% хуже известного оптимума 6659 и лучше результата, достигнутого генетическим алгоритмом из лабораторной работы №3.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section*{Список литературы}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}
|
||
|
||
\vspace{-1.5cm}
|
||
\begin{thebibliography}{0}
|
||
\bibitem{vostrov}
|
||
Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
|
||
\end{thebibliography}
|
||
|
||
\end{document}
|